% H"ohere Mathematik 4.6.2003 und 6.2.2003
% by Sebastian
\begin{defi}[Differentialformen vom Grad $i$]
Sei $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Eine Differentialform $\omega$ vom Grad $i$ auf $M$ ist eine Abbildung $\omega: M\rightarrow \cup_{m\in M} \Lambda^i(T_{m}M)^*$ mit $\omega(m) \in \Lambda^i(T_{m}M)^*$. Wir schreiben $\Omega^i(M)$ f"ur die Menge solcher $\omega$ und $\Omega (M)=\substack{n\\\oplus\\i=0}   \Omega ^i(M)$.\\ Man hat darauf eine Vektorraum- und Algebrenstruktur \[(\omega +\omega ')(m)=\omega (m)+ \omega '(m) \] und \[(\omega \wedge \psi)(m):= \omega (m)\wedge \psi(m) \]
Ist nun $f:M$ $\rightarrow$ $N$ differenzierbar und $\omega \in
\Omega ^i (N)$, so ist $f^* \omega \in  \Omega ^i (M)$ (Pullback,
R"uckkehr) definiert durch $(f^*\omega )(m)$. $\omega$ hei"st $p$ mal
stetig differenzierbar, falls f"ur jede Karte $M
\substack{offen\\\supset\\\epsilon }U \xrightarrow{ \varphi} U'
\subset \R$ der Ausdruck $(\varphi ^{-1})^*\epsilon ^*\omega$ p-mal
differenzierbar ist.
$$
\left ( f^* \omega \right )(m)=\wedge^{i}\left (T_mf \right )^*\omega (fm)
$$
\end{defi}


\paragraph{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\item $\omega$ ist differenzierbar im Punkt $m\in  M$
  $\Leftrightarrow$ $(\varphi ^{-1})^*\epsilon ^*\omega$ ist
  differenzierbar in $\varphi m$ f"ur eine Karte
\item F"ur den Pullback gelten die gleichen Regeln wie im Fall $M=U$ offen in $E$, Vektorraum, d.h.
\begin{enumerate}
\item $f^*$ ist Algebrahomomorphismus, d.h. linear und $f^*(\omega \wedge \psi)=f^*\omega \wedge f^* \psi$
\item $(f \circ g)^*=g^*\circ f^*$, $\quad (id_M)^* = id_{\Omega M}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{defi}
Ist $\omega \in  \Omega ^iM$, so wird $d\omega\in \Omega ^{i+1}$ wie folgt definiert: \\ F"ur $m\in  M$ w"ahle Karte $M \subset U \xrightarrow{\varphi} U'$ und setze $$(d\omega )(m)= (\varphi ^* \cdot d(\varphi ^{-1})^* \epsilon ^* \omega )(m)$$
\end{defi}

\paragraph{Bemerkungen}
Diese Definition ist unabh"angig von der Wahl der Karte $U$ und es gelten die bereits bekannten Rechenregeln:
\begin{enumerate}
\item $d(\omega \wedge \psi)=d\omega \wedge \psi + (-1)^i\omega \wedge d\psi$ f"ur $\omega \in  \Omega^iM$, $\psi \in  \Omega^iM$
\item $d^2=0$
\item $f^*d=df^*$
\end{enumerate}


\section{Integration von Differentialformen auf orientierbaren Mannigfaltigkeiten}
\begin{defi}
Sei $V \subset \R^k$ offen, $\omega= f \: dx_1 \wedge \dots \wedge dx_k \in  \Omega ^k(V)$ sei stetige Differentialform mit kompakten Tr"ager (d.h. $f$ ist stetig mit $T(f)=\{x|fx\neq 0\}$ kompakt.\\
Definiere \[\int\limits_V \omega := \int\limits_V f  \qquad \text{(Lebesgue-Integral)}\]
\end{defi}

\begin{lem}[Schlüssellemma]
Seien $U$,$V$ offen im $\R^k$, $U \xrightarrow{\varphi}V$ sei ein
Diffeomorphismus (p $\geq 0$) mit $det (\varphi'(x))>0 \quad \forall x \in
U$. Sei $\omega$ stetige $k$-Form auf $V$ mit kompaktem Tr"ager. Dann gilt
$$\int\limits_U \varphi^*\omega=\int\limits_V \omega \quad \text{(Transformationsformel)}$$
\end{lem}

\begin{proof}
Sei $\omega=dx_1\wedge \dots \wedge dx_k$, sei $\varphi (x)=(\varphi_1 (x),\dots,\varphi_k (x))$\\
Dann ist
\begin{equation}
\begin{array}{rl} (\varphi^*\omega)(x)&=(\varphi^*(f \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_k))(x)\\
&=((\varphi^*f)(d\varphi ^* x_1\wedge \dots \wedge d\varphi ^*x_k))(x)\\
&=((f\circ \varphi)(dx_1\wedge \dots \wedge dx_n))(x)\\
&=(f\circ \varphi)\cdot det(\varphi '(x))\cdot (dx_1\wedge \dots \wedge dx_n)
\end{array}
\end{equation}
Per Definition gilt: $\int\limits_U \varphi^*\omega=\int\limits_U (f \circ \varphi)(det(\varphi))=\int\limits_V f=\int\limits_V \omega$ (Transformationsformel und $\det(\varphi'(x))>0 \quad \forall x\in  U$
\end{proof}


\begin{defi} 
\begin{enumerate}
\item Zwei Karten $(U,\varphi )$ und $(V,\psi)$ einer Mannigfaltigkeit $M$ hei"sen gleich orientiert, falls $\det(\psi \circ \varphi)'(x)>0 \quad \forall x \in  \varphi(U \cap V)$.
\item Ein Atlas hei"st orientiert, falls alle Karten darin gleich orientiert sind.
\item Eine Mannigfaltigkeit $M$ hei"st orientierbar, falls es einen orientierbaren Atlas gibt.
\item Zwei orientierte Atlanten hei"sen "aquivalent, falls alle vorkommenden Karten gleich orientiert sind.
\item Eine orientierte Mannigfaltigkeit ist ein Paar $(M,\sigma)$ bestehend aus einer Mannigfaltigkeit und einer "Aquivalenzklasse $\sigma$ von orientierten Atlanten.
\item Ist $M$ eine Hyperfl"ache in $\R^n$ (d.h. $M$ ist ($n-1$)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\R^n$), so hei"st eine Abbildung \\$\nu : M \rightarrow \mathbb{S} ^{n-1}=\{x|\parallel x \parallel =1\}$ ein Normalenfeld, falls $\nu (x)$ orthogonal zu $T_m M \subset \R^n \quad\forall x \in  M$
\end{enumerate}
\end{defi}

\paragraph{Bemerkungen und Beispiele:}
\begin{enumerate}
\item Meist arbeitet man mit einem orientierten Atlas statt mit $\sigma$.
\item $\R^n \substack{\supset\\offen} U$ ist orientierbar. Es gibt n"amlich einen Atlas mit nur einer Karte.
\item F"ur $M= \mathbb{S} ^{n-1}$ ist $\nu: \mathbb{S} ^{n-1} \rightarrow \mathbb{S} ^{n-1}$ mit $\nu (x)=x$ ein Normalenfeld.
\item Nicht alle Mannigfaltigkeiten sind orientierbar, wie z.B. das M"obiusband.
\end{enumerate}

\begin{satz}
\begin{enumerate}
\item Sei $f: \R ^n \rightarrow \R ^{n-k}$ eine $C^p$-Abbildung mit $Rang(f'(x))=n-k \quad\forall x\in  M:=f^{-1}(0)$ (Dann ist $M$ Untermannigfaltigkeit, egal ob zusammenh"angend, oder nicht) $\Rightarrow M$ ist sogar orientierbar!
\item Eine Hyperfl"ache $M$ in $ \R ^n$ ist orientierbar genau dann, wenn es ein Normalenfeld $\nu : M \rightarrow \mathbb{S}^{n-1}$ gibt.
\end{enumerate}
\end{satz}

\paragraph{Beispiele}
\begin{enumerate}
\item $\mathbb{S}^{n-1}$ ist orientierbar nach beiden Kriterien.
\item Das M"obiusband ist nicht orientierbar.
\end{enumerate}

\begin{lem}
Sei $M$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann sind gleichwertig:
\begin{enumerate}
\item Es gibt einen orientierten Atlas (d.h. $\det (\psi \varphi ^{-1})>0 \quad\forall$ Kartenwechsel)
\item Es gibt eine sogenannte Volumenform $\omega$ auf $M$, d.h. $\omega$ ist stetige $n$-Form auf $M$ mit $\omega (x)\neq 0 \quad\forall x \in M$
\end{enumerate}
\end{lem}

\paragraph{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\item Falls $M$ $C^\infty$-Mannigfaltigkeit, so kann man $\omega$ auch  als $C^\infty$-Form annehmen.
\item Per Definition ist f"ur jedes $x \in $ $\omega (x)\in \Lambda ^n(T_xM)^*$. F"ur endlichdimensionalen Vektorraum: $V$ ist nun $\Lambda ^n(V^*) \xrightarrow{\sim} Alt^n(V)$. (Alternierende, multilineare Abbildung von $\underbrace{V\times\dots\times V}_{n\text{ mal}} \xrightarrow{\Phi} \R$) \[\Phi (\varphi_1 \wedge \dots \wedge \varphi_n)(v_1,\dots,v_n)=det_n(\varphi_i(v_j))\] \[\varphi_i \in V^* = Hom(V,\R ) \]
F"ur $A$: $n\times n$-Matrix gilt: $det(A)$: Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Quaders. Angewandt auf $\omega$ bedeutet das: Eine stetige $n$-Form ordnet in kontinuierlicher Weise jedem $x\in X$ eine Determinante f"ur $(T_xM)^n$ zu. 
\[\omega(x)=f(x) \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n\]
\end{enumerate}

\begin{proof}  \textit{1. $\Rightarrow$ 2.} \\
Sei $U \xrightarrow{\varphi} U'$ eine Karte. Dann ist 
\[(\varphi ^{-1})^*(\omega ) = a \: dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n \text{mit Funktion a} \]
mit $(\varphi ^{-1})^*(\omega )=(\varphi ^{-1})^* \epsilon ^*\omega $ ; $\omega : U\subset M$ \\
Da $\omega$ nirgends verschwindet, ist $a(x) \neq 0 \quad\forall x \in U'$. Ist $U'$ dabei zusammenh"angend, so gilt entweder $a(x) > 0 \quad \forall x \in U'$ oder $a(x)<0$. \\
Nimm nun als Atlas alle Karten $U \xrightarrow{\varphi} U'$, so da"s $U'$ (und damit auch $U$) zusammenh""angend ist bei $(\varphi ^{-1})^*\omega =a \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n$ stets $a(x) > 0 \quad \forall x \in U'$. \\
Dies liefert einen Atlas, denn: Sei $m \in M$ und $M\supset U \xrightarrow{\psi } U' \substack{offen\\\subset} \R ^n$ irgendeine Karte von $M$. Durch Kleinermachen findet man eine Karte $\tilde{M}\supset \tilde{U} \xrightarrow{\tilde{\psi }} \tilde{U}'$ mit $\tilde{U}'$ zusammenh"angend.
\[(\tilde{\psi}^{-1})^* \omega = c \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n \text{ mit } c(x) \neq 0 \]
Betrachte $\quad\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array}\right)  \xrightarrow{\chi }
\quad\left( \begin{array}{c} -x_1\\ \vdots\\ x_n\\ \end{array}\right)$ \\ \\
und nun $\tilde{U} \xrightarrow{\tilde{\psi}}\tilde{U}'\xrightarrow{\tilde{\chi}} \chi(\tilde{U}')$. \\
\[(\chi ^{-1})^*(\tilde{\psi}^{-1})^* \omega = (\chi ^{-1})^* c \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n = (c \circ \chi ^{-1})\underbrace{(-1)}_{det (\chi ^{-1})} \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n \]
Seien jetzt zwei derartige positive Karten gegeben mit $(\psi \circ \varphi  ^{-1})$: Kartenwechsel.
\begin{figure}[h]\begin{center} \includegraphics*{skizze01}  \end{center} \end{figure}
\[(\varphi ^{-1})^*\omega = a \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n \]
\[(\psi ^{-1})^*\omega = b \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n \]
mit a,b>0
\[(\varphi ^{-1})^*\circ \psi ^* \circ (\psi ^{-1})^* \omega = (\varphi ^{-1})^*\omega = a \:dx_1\wedge \dots \wedge dx_n \]
\[(\psi \circ \varphi ^{-1})^*((\psi ^{-1})^* \omega)=(\psi \circ \varphi ^{-1})^* \omega = b \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n= (b \circ \psi \circ \varphi ^{-1})(det(\psi \circ \varphi ^{-1})') \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n \]
Ausgerechnet an der Stelle $x$: $\underbrace{a(x)}_{>0}=\underbrace{b(\psi \circ \varphi ^{-1}(x))}_{>0} \cdot  \underbrace{det((\psi \circ \varphi ^{-1})'(x))}_{\Rightarrow >0}$
\end{proof}

\begin{proof} \textit{2. $\Rightarrow$ 1.} \\
Sei nun $U_i \xrightarrow{\varphi _i} U_i'$ ein orientierter Atlas. W"ahle eine $C^\infty$-Zerlegung der Eins, die der "Uberdeckung durch die $U_i$ angepa"st ist, d.h. $\quad \forall j \exists i(j)$ mit $T(\chi _j) \subset U_{i(j)}$ Dann ist $\omega_t = \chi _t \cdot \varphi _{i(t)}^* \: dx_1\wedge \dots \wedge dx_n$ eine von $U_i$ auf $M$ ausdehnbare $n$-Form. Setze $\omega= \sum_{t=1}^\infty \omega _t$: $C^\infty$-Form. Sein nun $x \in M$. Dann gibt es ein $\chi _t$ mit $\chi _t \neq 0$.
\[ \omega = \chi _t \cdot \varphi _{i(t)}^* \: dx_1 \wedge \dots \wedge dx_n + \chi _j \cdot \varphi _{i(j)}^* +\dots \]
mit $x \in U_{i(t)} \cap U_{i(j)}$ und $\chi _t(x)>0$
\[(\varphi _{i(j)}^{-1})^*\omega = \chi _t \cdot dx_1\wedge \dots \wedge dx_n + \chi _j(x)\underbrace{(\varphi _{i(j)}^{-1*}\varphi _{i(j)}^{-1})}_{\text{Funktionaldet.} >0}\cdot dx_1\wedge \dots \wedge dx_n \]
Also gilt $\omega(x) \neq 0 \quad\forall x\in M$
\end{proof}


\begin{proof} \textit{des Satzes Teil 1.}\\
Sei $f: \R ^n \rightarrow \R ^{n-k}$ $C^\infty$-Abbildung, $M:=f^{-1}(0)$ mit $Rang(f'(x))=n-k \quad\forall x\in M$ (z.B.: $(\R ^n, x \rightarrow \sum x_i^2 -1, \R ) f^{-1}(0)= \mathbb{S}^{n-k}$)\\
Behauptung: Dann ist $M$ eine Untermannigfaltigkeit (bereits gezeigt), die orientierbar ist.\\
Beweis:\\
F"ur $x\in M$ betrachte man die offene Umgebung 
\begin{center}
$\begin{array}{ccc} U(x)&\xrightarrow{\varphi \text{:Diffeomorph.}}&V(x)\\ \cup && \cup \\
M\cap U(x)&\xrightarrow{\check \varphi}&V(x)\cap \{ \{0\}\times \R ^k\} \end{array}$
\end{center}
mit $\varphi (z)= (f_1(z), \dots, f_{n-k}(z), \varphi _1(x),\dots,\varphi _n(z))$ mit $det(\varphi '(x)>0 \quad\forall z\in U(x)$. Soetwas gibt es f"ur jeden Punkt ($\rightarrow$ Beweis des Untermannigfaltigkeitssatzes) Dann bilden die so erhaltenen Karten $M \cap U(x) \rightarrow V(x) \cap (\{0\}\times \R ^k)$ einen orientierten Atlas.
\[(\psi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi = \psi \Rightarrow (\psi ' \circ \varphi ^{-1})'(\varphi (z)) \varphi '(z)=\psi '(z)  \text{Kettenregel} \]
\begin{center}$\psi '(z)= \quad\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\dots0\\0&1&0&0\dots0\\0&0&1&0\dots0\\0&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&(\psi \circ \varphi ^{-1})'(\varphi (z))\\0&0&0  \end{array}\right) \cdot \varphi '(z) $
\end{center}
\[\Rightarrow  det((\psi \circ \varphi ^{-1})'(\varphi (z)))\cdot det(\varphi '(z)=det(\psi '(z))\]
\end{proof}

\begin{proof} \textit{des Satzes Teil 2.}\\
Sei $U \xrightarrow{\varphi}V$ ein orientierter Atlas. Konstruiere $\nu : M\rightarrow \mathbb{S}^{n-1}$: stetiges Normalenfeld.\\
\[\nu (x) \perp T_xM = \langle D_1\psi (\varphi (x)), \dots,D_{n-1}\psi (\varphi (x)) \rangle \]

\[det(\nu(x),D_1\psi (\varphi (x)), \dots,D_{n-1}\psi (\varphi (x)))>0\]
Weggelassen: Stetigkeit und Zusammenkleben klappt!
\end{proof}

\begin{defi}
Sei $M$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Orientierung $\sigma$. Sei $\omega \in \Omega ^k(M)$ stetig mit kompaktem Tr"ager. W"ahle dann:
\begin{enumerate}
\item Einen orientierten Atlas $\{ U_i \xrightarrow{\varphi_i} V_i \}$ in $\sigma$
\item Eine stetige abzählbare Zerlegung der $1 = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \chi _j$ mit $T(\chi _k) \supset U_{i(k)}$ f"ur ein geeignetes $i(k)\in I$ f"ur jedes $k\in \N$.
\item W"ahle einen Intex $t$ so gro"s, da"s $\sum\limits_{j=1}^t \chi _j (x)=1 \quad \forall x \in T(V)$.
\end{enumerate}
Definiere dann $$\int\limits_M \omega :=\sum\limits_{j=1}^t \int\limits_{V_{i(j)}} (\varphi _{i(j)}^{-1})^*(\chi _j \omega )$$
\end{defi}

\begin{lem}
\begin{enumerate}
\item Obige Definition ist unabh"angig von allen Wahlen.
\item Liegt $T(\omega )$ in einer Karte $U_i \xrightarrow{\varphi_i} V_i$, so ist $\int\limits_M \omega := \int\limits_{V_{i}} (\varphi _{i}^{-1})^*(\chi _j \omega )$
\item $\int$ ist eine lineare Funktion von $\Omega_{\omega , c}^n(M)=\{\omega \in \Omega ^n(M)| \omega \text{ stetig, }T(\omega ) \text{ kompakt}\}$ nach $\R$
\end{enumerate}
\end{lem}

\paragraph{Bemerkungen}
\textit{3.} ist erf"ullbar, denn: F"ur alle $x\in T(\omega )$ gibt es eine offene Umgebung $U(x)$, die nur endlich viele $T(\chi _k)$ trifft. \\
$T(\omega ) \subset \substack{\cup \\x\in T(\omega )} U(x)$, mit $U(x)$ wie oben.\\
Es gibt endlich viele $x_1,\dots,x_r$ mit $T(\omega ) \subset \substack{r\\\cup \\i=1} U(x_i)$.\\
$T(\chi _j) \cap (\substack{r\\\cup \\i=1} U(x_i)) \neq 0$ gilt nur f"ur endlich viele $i$. Also existiert ein $t$ wie angegeben.

%H"ohere Mathematik 4.6.2003 und 6.2.2003 - Ende

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 

