Bereits konstruiert: Eine aufsteigende Folge von kompakten Teilmengen $A_i$ mit $M=\cup_{i\in\N}A_i$ und mit $A_i \subset \mathring A_{i+1}= $ offener Kern von $A_{i+1}=$ gr"o"ste offene Teilmenge von $A_i$.

F"ur jeden Index $i$ betrachte man 
$$\begin{array}{cll}
        \mathring A_{i+2} \setminus A_{i-1}     &       =\mathring A_{i+2} \cap (X\setminus A_{i-1})    &       = \text{offener Ring}\\
        \cup    &       \\
        A_{i+1} \setminus \mathring A_i &       =A_{i+1} \cap (X\setminus \mathring A_i)        &       = \text {abgeschlossene Teilmenge von $A_{i+1}$, also kompakt}\\
\end{array}$$

F"ur jeden Punkt $x \in \mathring A_{i+2}\setminus A_{i-1} =: U=$ offen, gibt es im maximalen Atlas von $M$ eine Karte $x\in U_x \stackrel{\varphi_x}\longrightarrow V_x \subset \R^n$ mit
\begin {enumerate}
        \item $U_x\subset U$, $U_x\subset M_i$ f"ur ein $i \in I$ geeignet
        \item $V_x =U_3 (0) = \{z\in \R^n \mid \|z \| < 3\}$
\end{enumerate}

Sei dazu zun"achst
$$\begin{array}{cllcl}
        \tilde U_x      & &\stackrel{\tilde \varphi_x} \longrightarrow & \tilde V_x     &       \text{eine beliebige Karte von } x\\
        \cup \text{ offen}\\
        \bar U_x                & := \tilde U_x \cap U\cap M_i & \stackrel{\bar \varphi_x} \longrightarrow & \bar V_x  &\ni y:=\bar \varphi_x (x)  \text {wobei } x\in M_i\\
        \cup & & & \cup & \subset \R^n\\
        U_x     & :=\bar \varphi_x ^{-1} (U_\varepsilon (y)) & \longrightarrow & U_\varepsilon (y) & \underset{\text{verschieben und aufblasen}} \longrightarrow U_3(0)\\
\end{array}$$

Setze $W_x = \varphi_x ^{-1} (U_1(0))=$ offene Umgebung von $x$. Da $K_i= (A_{i+1}\setminus \mathring A_i)$ kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte $x_{i_1},...,x_{i_{n_i}} \in K_i$ mit $K_i \subset \cup_{i=1} ^{n_i} W_{x_i}$. Nimm die abz"ahlbar vielen $U_x$ und $W_x$, die man bei diesem Prozess erh"alt. 

Setze die auf $U_3 (0)$ offenbar existierende $C^\infty $-Funktion $\varphi :U_3(0) \longrightarrow \R$ mit $$\varphi (z)=  \begin{cases}
        1 & z\in U_1(0) \\
        0 & z\notin U_2(0)\\
        \leq 1 & \forall z\in U_3(0)
\end{cases} $$  fort via Karte $\varphi_x$ zu einer $C^\infty $-Funktion $\psi_x$ auf $M$ mit $T(\psi_x) \subset U_x$.

Setze $$\psi =\sum_{x \text{ wie oben}} \psi_x$$ Das gilt, da nach Konstruktion nur endlich viele $U_x$�s einen festen Punkt $y$ enthalten. $\tilde \psi_x =\frac{\psi_x} \psi$ ist dann die gesuchte Zerlegung der Eins.
\end{proof}

\section{Differentialformen}
\paragraph{Erinnerung}["au"sere Algebra]
Sei $V$ $\R$-Vektorraum mit Basis $(v_1, v_2, ...,v_n)$. $\Lambda V=$"au"sere Algebra zu $V=\oplus _{i=0} ^n \Lambda ^i V=$ assoziative, graduierte Algebra der Dimension $2^n$.

$\Lambda ^i V=i-$te homogene Komponente = Unterraum aufgespannt von Produkten $x_1\wedge x_2\wedge ...\wedge x_i$.

$z\in \Lambda ^i V$ hat den Grad $i$. $$\begin {array}{lcl}
        \Lambda ^0 V &=& \R\cdot 1\\
        \Lambda ^1 V &=& V\\
        \Lambda ^n V&=& \R \cdot v_1 \wedge ... \wedge v_n\\
\end{array}$$
$$z\in \Lambda ^i V, w\in \Lambda ^j V \Rightarrow z\cdot w=z\wedge w \in \Lambda ^{i+j}V$$
$$\dim (\Lambda ^i V)=\binom{n}{i}$$
$\Lambda ^i V$ hat als Basis die $v_I=v_{j_1}\wedge ...\wedge v_{j_i}$ mit $I=\{j_1<j_2<...<j_i\}\subset \{1,2,...,n\}$

\paragraph{Beispiel}
\begin{enumerate}
        \item $n=3, i=1$ $$\binom{n}{1}=\binom{n}{2}=3$$
                $$\begin{array}{ccc}
                        \Lambda^1 V \times \Lambda^1 V & \longrightarrow & \Lambda ^2\\
                        (v,w) & \longmapsto & v \wedge w\\
                \end{array}$$
\end{enumerate}

\begin{defi}[Differentialform]
        Sei $U$ offen in einem (normierten, endlichdimensionalen)
        Vektorraum $E$. Eine Differentialform (der Klasse $C^p$) vom
        Grad     $r$ ist eine (p-fach stetig differenzierbare) Abbildung $$\omega: U\subset E\longrightarrow \Lambda ^r(E^*)$$ ($E^*=\text{Hom}_{\R}(E,\R)=      \{f:E \rightarrow\R \mid f \text{ linear}\}$). Man schreibt $\Omega^r(U)(\Omega^{r,p}(U))$ f"ur die Menge der $\omega$.
\end{defi}

\paragraph{Konvention} $p$ soll im Folgenden $\infty$ sein, falls nicht explizit etwas anderes vereinbart wird. Die notwendigen Anpassungen auf den Fall $p<\infty$ sind meist offensichtlich.

\paragraph{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
        \item Da bei endlichdimensionalen Vektorr"aumen alle Normen "aquivalent sind, sind die gemachten Definitionen unabh"angig              von Wahlen.
        \item Hat $E$ die Basis $(e_1, e_2, ..., e_n)$ und ist $E\ni v=\sum \lambda_i e_i =\sum \lambda _i(v) e_i$, so sind die                         Koordinatenfunktionen $\lambda_i: 
                \begin{array}[t]{ccl}
                        E & \longrightarrow & \R \\
                        v & \longmapsto & \lambda_i =\lambda_i(v) \\
                \end{array}$ 
                gerade die zugeh"origen dualen Basen von $E^*$. Also bilden
                die $\lambda _I=\lambda_{i_1}\wedge \ldots \wedge \lambda_{i_r}$ eine Basis               von $\Lambda ^r E^*$. Somit ist $$\omega(x)=\sum _{|I|=r} f_I(x) \lambda_I \text{ f"ur jedes }x\in U$$
                $$\omega(x)=\sum_{i_1<i_2<...<i_r} f_{i_1,...,i_r}(x)\lambda_{i_1}\wedge \lambda_{i_2}\wedge ...\wedge \lambda_{i_r}$$
                Dabei sind die $f_I:U\longrightarrow \R$ gew"ohnliche Funktionen. Dabei gilt: $\omega$ von der Klasse $C^p                                      \Leftrightarrow$ Alle $f_I$ von der Klasse $C^p$.
        \item $\Omega^0 (U) =\{f:U\longrightarrow \Lambda^0 E^* =\R\cdot 1=\R\}$ ist die Menge aller $C^\infty$-Funktionen. F"ur $f             \in \Omega^0 (U)$ sei $df=$Differential von $f\in \Omega ^1 (U)$ wie folgt definiert: 
                $$\begin{array}{lclll}
                        df: &   U       & \longrightarrow & \Lambda^1 E^* =E^* & \text{mit}\\
                                        & U\ni x & \longmapsto & (df)(x) =f'(x) \in \text{Hom}(E,\R)\\
                \end{array}$$ 
                $$((df)(x))(v)=(f'(x))(v)$$

                Speziell: $(d\lambda_i)(x)=\lambda_i$ (nach Basiswahl in $E$!)
                Also schreibt man oft statt 
                $$\omega (x)=\sum f_{i_1,...,i_r}(x)\lambda_{i_1} \wedge ...\wedge \lambda_{i_r} \text{   auch}$$
                $$\omega (x)=\sum f_{i_1,...,i_r}(x)d \lambda_{i_1} \wedge ...\wedge d \lambda_{i_r}$$
                Statt $\lambda_i$ schreibt man auch oft $x_i$, also $dx_i$ statt $d\lambda_i$ statt $\lambda_i$.
                Also schreibt man oft ("`...historisch gewachsener M"ull"'):
                $$\omega (x)=\sum f_{i_1,...,i_r}(x)dx_{i_1} \wedge ...\wedge dx_{i_r}$$
\end{enumerate}

Nach einf"uhren von Koordinaten gilt:
        $$(df)(x)=f'(x)=D_1 f(x)\lambda_1 +D_2 f(x) \lambda_2 +...+D_n f(x) \lambda_n$$
        mit $D_i f(x) =f'(x)(e_i)=$Richtungsableitung von $f$ in Richtung $e_i$.
        Mit der anderen Schreibweise ergibt sich:
        $$\begin{array}{clll}
        (df)(x) & =D_1 f(x) dx_1 & +D_2 f(x)dx_2+... & +D_nf(x) dx_n\\
                                        &       =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x) dx_1 & +    \frac{\partial f}{\partial x_2}(x) dx_2+... & +\frac{\partial f}        {\partial x_n}(x)       dx_n\\
        \end{array}$$
        $$\text{Oder: } df=\sum \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$$
        $\Omega^1U\ni f$ hei"st 1-Form oder Pfaffsche Form. $\Omega(U)=\oplus_{i=0}^n \Omega^i (U)$ wird via
        $$\begin {array}{ccccccccc}
                (\omega & \wedge & \psi) & (x)& = & \omega(x) & \wedge & \psi(x) & \in \Lambda^{r+s}E^*\\
                \in                     &                                       &       \in             &                               &&      \in                             &                                       &               \in\\
                \Omega^rU &                             &\Omega^sU &    &       & \Lambda^rE^*  &                       &       \Lambda^sE^*\\
        \end{array}$$
        zu einer assoziativen Algebra.
        Dabei gilt $\forall f\in \Omega^0 U:f\omega =f \wedge \omega$

        $\Omega^k U=0$, $\forall k>n$
        
        $\Omega^n U \not = \Omega ^0 U$ nicht kanonisch (basiswahlabh"angig)

\begin{satz}[Cartan-Ableitung]
        Es gibt genau eine lineare Abbildung $d:\Omega(U) \longrightarrow \Omega(U)$ mit:
        \begin{enumerate}
                \item $df=f'$
                \item $d(\omega \wedge \psi)=(d\omega) \wedge \psi +(-1)^r \omega \wedge (d\psi)$ f"ur alle $\omega \in \Omega ^r (U),                  \psi\in \Omega^s(U)$
                \item $d^2 =0$
        \end{enumerate}
        Nach Wahl von Koordinaten ist $d$ definiert durch:
        $$d(f \cdot \underset{\in \Omega^r} {dx_{i_1}} \wedge ... \wedge dx_{i_r}       )=(df)\wedge \underset{\in \Omega^{r+1}}{dx_{i_ 1}} \wedge ... \wedge dx_{i_r} \qquad (*)$$
\end{satz}

\begin{defi}[Cartan-Ableitung]
        $d$ hei"st "au"sere Ableitung (Cartan-Ableitung).
\end{defi}

\paragraph{Bemerkungen}
        \begin{enumerate}
                \item $df_{i_1,...,i_r}=\sum \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$
                \item $d\Omega^i(U) \subset \Omega ^{i+1}$
        \end {enumerate}

\paragraph{Beispiel}
        $n=3$, $r=0$ ("Gradient") $$ df=\sum\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$$
        Nach Wahl von Koordinaten: 

        $r=1$ ("Rotation"):
        $$\begin{array}{ll}
                \omega  &=f_1dx+f_2dy+f_3dz\\
                d\omega &=d(f_1dx+f_2dy+f_3dz)\\
                                                &=df_1\wedge dx+df_2\wedge dy+df_3\wedge dz\\
                                                &=(D_1f_1dx+D_2f_1dy+D_3f_1dz)\wedge dx\\ 
                                                &\text{ }+(D_1f_2dx+D_2f_2dy+D_3f_2dz)\wedge dy\\ 
                                                &\text{ }+(D_1f_3dx+D_2f_3dy+D_3f_3dz)                                                          \wedge dz\\
                                                &=(D_1f_2-D_2f_1)dx\wedge dy\\
                                                &\text{ }+(D_2f_3-D_3f_2)dy\wedge dz\\
                                                &\text{ }+(D_3f_1-D_1f_3)dz\wedge dx\\
                \end{array}$$

        $r=2$ ("Divergenz"):
        $$\begin{array}{ll}
                \omega  &=g_1dx\wedge dy+g_2dy\wedge dz+g_3dz\wedge dx\\
                d\omega &=dg_1\wedge dx\wedge dy+dg_2\wedge dy\wedge dz+dg_3\wedge dz\wedge dx\\
                                                &=D_3g_1dz\wedge dx\wedge dy+D_1g_2dx\wedge dy\wedge dz+D_2g_3dy\wedge dz\wedge dx\\
                                                &=(D_3g_1+D_1g_2+D_2g_3)dx\wedge dy\wedge dz\\
        \end{array}$$
        $$\begin{array}{cccccccccccc}
                0       &       \longrightarrow & \Omega^0 &    \stackrel{d} \longrightarrow & \Omega^1 &       \stackrel{d} \longrightarrow &                                          \Omega^2 &      \stackrel{d}\longrightarrow & \Omega^3 &                \stackrel{d} \longrightarrow & 0\\
                        &&\Arrowvert && \Downarrow && \Downarrow && \Downarrow\\
                        &&\text{[Funktion]}&\stackrel{\text{grad}}\longrightarrow &\text{[Vektorfeld]}&\stackrel{\text{rot}}\longrightarrow &\text{[Vektorfeld]}&\stackrel{\text{div}}\longrightarrow &\text{[Funktion]}\\ 
        \end{array}$$
        $\Downarrow:$ nicht kanonisch

\begin{proof}
        \begin{enumerate}
                \item Eindeutigkeit (Formel (*) gilt):\\
                Wegen $d^2=0$ ($3.$) gilt $d(dx_i)=0 \, \forall i$\\
                Nach ($2.$) folgt per Induktion nach dem Grad r:
                $$\begin{array}{ll}
                        d(\underbrace{dx_{i_1}}_{\omega} \wedge \underbrace{ ... \wedge dx_{i_r}}_{\psi}) & =\underbrace{d^2 x_i}_{=0} \wedge                                   \psi - dx_i  \wedge \underbrace {d(\psi)}_{=0}=0\\
                        d(f\cdot  dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r}) &= d(\underbrace{f}_\omega  \wedge\underbrace { dx_{i_1} \wedge ...                                      \wedge dx_{i_r}}_\psi)\\
                         &= df \wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r}+0\\
                \end{array}$$
                \item Existenz:\\
                        Nach Wahl von Koordinaten hat jedes $\omega \in \Omega(U)$ die Gestalt $\omega=\sum_{I\in 2^n}f_I dx_I$ mit eindeutig                           bestimmten Funktionen $f_I:U\longrightarrow \R$.\\
                        $dx_\emptyset :=1(=\lambda_0)$\\
                        Setze $d\omega :=\sum (df_I )  \wedge dx_I$, dann ist $d$ $\R$-lineare Abbildung. Ferner gilt ($1.$)\\
                        Zum Nachweis von ($2.$) sei zun"achst $\omega = f\in \Omega^0$, $\psi=g\in\Omega^0$
                        $$\begin{array}{ll}
                                d(f \wedge g)=d(f\cdot g)&=\sum_{i=1}^n \frac{\partial (fg)}{\partial x_i} dx_i \\
                                 &\overset{\text{Produktregel}}{=}\sum(f\frac{\partial g}{\partial x_i} + g \frac{\partial f}{\partial x_i})dx_i\\
                                 &=f\cdot dg+df\cdot g\\
                                 &=df \wedge g+f \wedge dg\\
                        \end{array}$$
                        Sei jetzt $\psi =g dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r}$, dann ist 
                        $$\begin {array}{ll}
                                d(f \wedge \psi )&=d(fg \wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r})\\
                                 &=d(fg) \wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r}\\
                                 &=((df)g+f(dg))\wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r}\\
                                 &=(df)g \wedge  dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r} +f(dg)\wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r}\\
                        \end{array}$$
                        wie gew"unscht.

                        Jetzt sei $\omega=f\cdot dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r} =f\tilde\omega$, $\psi=g\cdot dx_{i_1} \wedge ... \wedge                           dx_{i_r} =g\tilde\psi$

                        1. Fall: $\exists k=i_p=j_q\Rightarrow \omega\wedge \psi=0=d\omega\wedge \psi=\omega\wedge d\psi$.
                        
                        Sonst gilt:
                        $$\begin{array}{lll}
                                d(\omega\wedge \psi) &=d(fg\tilde\omega\wedge \tilde\psi)\\
                                 &=d(fg)\wedge \tilde\omega\wedge \tilde\psi\\
                                 &=((df)g+f(dg))\wedge \tilde\omega\wedge \tilde\psi\\
                                 &=(df)g\wedge \tilde\omega\wedge \tilde\psi +f(dg)\wedge \tilde\omega\wedge \tilde\psi\\
                                 &=df\tilde\omega\wedge g\tilde\psi+(-1)^r f\tilde\omega\wedge dg\tilde\psi\\
                                 &\quad \text{,da } dg\wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r} =(-1)^r \wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r}                                             \wedge dg\\
                                 &=df\wedge \tilde\omega\wedge g\tilde\psi+(-1)^rf\tilde\omega\wedge dg\tilde\psi\\
                                 &=d\omega\wedge \psi+(-1)^r \omega\wedge d\psi\\
                \end{array}$$   
                Zu Punkt ($3.$): $d^2=0$, d.h. $d(d\omega)=0\, \forall \omega\in\Omega(U)$\\
                Zuerst sei $\omega=f\in\Omega^0 \Rightarrow df =\sum\frac{\partial f}{\partial x_i}$,
                $$\begin{array}{ll}
                        d(df) &=\sum_i d(\frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i)\\
                         &=\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_j}(\frac{\partial f}{\partial x_i})dx_j)\wedge dx_i\\
                         &=\sum_{i,j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} dx_j \wedge dx_i\\
                         &=\sum_{1\leq i<j\leq n}(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}-\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial                                      dx_i}   )dx_i \wedge dx_j=0\\
                \end{array}$$
                nach Satz von Schwarz.

                Jetzt sei $\omega=f dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r} =f\tilde\omega$ mit \\
                $d\tilde\omega=d(1\cdot dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r} )=d1\wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r} =0\cdot dx_{i_               1} \wedge ... \wedge dx_{i_r} =0$ per Definition.\\
                $d\omega=df\wedge \tilde\omega+\underbrace{f\wedge d\tilde\omega}_{=0}$ per Definition.\\
                nach Regel ($2.$): $d(d\omega)=\underbrace{d^2f}_{=0}\wedge\tilde\omega+(-1)^1df\wedge \underbrace{d\tilde\omega}_{=0}=0$
        \end{enumerate}
\end{proof}

\paragraph{Erinnerung}
        $$\begin{array}{ll}
                V\stackrel{f}\longrightarrow W \stackrel{g} \longrightarrow X   & \text{seien lineare Abbildungen } \Rightarrow \text                           {Dann existieren graduierte}\\
                 &\text{Algebrahomomorphismen } \Lambda f \text{ und } \Lambda g\text{ mit } \Lambda(g \circ f) = \Lambda g \circ                                      \Lambda f\\
                \Lambda V \stackrel{\Lambda f} \longrightarrow \Lambda W \stackrel{\Lambda g} \longrightarrow \Lambda X\\
        \end{array}$$
        Dabei gilt: $(\Lambda f)(x_1\wedge ...\wedge x_i)=(fx_1)\wedge (fx_2)\wedge ...\wedge (fx_i)$, d.h. $(\Lambda f)(\Lambda^i      V)\subseteq \Lambda^i W$\\
        $[\Lambda(id)=(id_{\Omega V})]$

\begin{defi}[Pullback] Sei $U\stackrel{f}\longrightarrow V$ ($C^\infty$-Abbildung, $U$ offen in $E$, $V$ offen in $F$)  gegeben und ein $\omega\in\Omega ^r V$ (unendlich oft diffbare Differentialform auf $V$).\\
        Damit ist das inverse Bild $f^*\omega$ (oder der
        R"ucktransport oder auch Pullback) von $\omega$ die $r$-Form
        auf $U$   gegeben durch: $(f^*\omega)(x)=\Lambda
        (f'(x))^* \underbrace{\omega (f(x))}_{\in\Lambda^r F^*}$\\
        "$\begin{array}{ccc}
                \Lambda^rE^* & \longleftarrow                                                           & \Lambda^rF^*\\
                \uparrow                        & \circlearrowleft                                                      & \uparrow \omega\\
                U                                               &       \stackrel{f} \longrightarrow & V\\
        \end{array}$" 

        $f'(x):E\rightarrow F$ (linear $\forall \, x\in U$)\\
        $f'(x)^*:F^*\rightarrow E^*$
        $$g:E\longrightarrow F \stackrel \varphi \longrightarrow \R \quad \quad F^*\longrightarrow E^* \quad (g^*\varphi =\varphi               \circ g)$$
\end{defi}

\begin{satz}[Eigenschaften des Pullbacks]
        Seien\\ $\begin{array}[t]{clclcl}
                U                                                               & \stackrel f\longrightarrow & V                                                & \stackrel g \longrightarrow & W\\
                \cap                                                    &       \text{offen }                                           & \cap                                  & \text{offen }                  &\cap&\text{offen }\\
                E                                                                       &                                                                                                                       &       F                                                       &                                                & G\\
        \end{array}$ diffbare Abbildungen. Dann gilt:
        \begin{enumerate}
                \item $f^*:\Omega F \longrightarrow \Omega E$ ist ein graduierter Algebrahomomorphismus
                \item $(g\circ f)^* =f^*\circ g^*$, $(id_U)^* = id_{\Omega U}$
                \item $f^*\circ d =d\circ f^* \qquad (\forall\, \omega \in \Omega^r V \qquad f^*(d_V \omega)=d_U(f^*\omega))$
        \end{enumerate}
\end{satz}      

\begin{proof}
        \begin{enumerate}
                \item $f^*(\omega\wedge \psi) \stackrel ? =f^* \omega\wedge f^*\psi\qquad$ in $\Omega^{r+s}(U)$, $\omega \in \Omega^r V$,                       $\psi \in\Omega^sV$\\
                        Dazu wertet man an einen bestimmten Stelle $x\in U$ aus:
                        $$\begin{array}{llr}
                                f^*(\omega\wedge \psi)(x) &=\Lambda(f'(x))^*((\omega\wedge \psi)f(x))\\
                                        & =\Lambda(f'(x))^*(\underbrace{\omega(f(x))}_{\in\Lambda F^*}\wedge \underbrace{\psi(f(x))}_{\in\Lambda F^*}) &                                                 [\Lambda f'(x)^* \text{ ist Algebrahom.}]\\
                                        & =\Lambda f'(x)^* \omega (f(x))\wedge \Lambda f'(x)^* \psi(f(x))\\
                                        & =(f^*\omega)(x)\wedge (f^*\psi)(x)\\
                                        & =(f^*\omega\wedge f^*\psi)(x)\\
                        \end{array}$$
                \item "Ahnlich unter Verwendung von $(g \circ f)'(x)=g'(f(x))\circ f'(x)$\\
                        $((g\circ f)'(x))^*=(f'(x))^*\circ (g'(f(x)))^*\quad$ $*=$duale Abbildung.\\
                        $\Rightarrow \Lambda ((g\circ f)(x))^*=\Lambda(f'(x))^*\circ\Lambda(g'(f(x)))^*\quad$ Rechnen!
                \item $(f^*g)(x)=\underbrace{\Lambda^0 (f'(x))^*}_{=id}(g(f(x)))=g(f(x))\quad g\in \Omega^0$\\
                        $f^*g=g\circ f$\\
                        $f^*\circ d \stackrel ? = d\circ f^*$, d.h. zu zeigen:
                        $$(f^*\circ d)(\omega)=(d\circ f^*) (\omega) \quad \forall \omega \in \Omega V$$
                        zuerst sei $\omega =g\in \Omega^0 (V)$\\
                        $(f^*\circ d)(g)=f^*(dg) $ an der Stelle $x$
                        $$f^*(dg)(x)=\Lambda^1 f'(x)^* (dg)(f(x))=(f'(x))^*dg(f(x))=g'f(x)\cdot f'(x)$$
                        $d(f^*g)=d(g\circ f)$ an der Stelle $x$
                        $$d(g\circ f)(x)=(g\circ f)'(x)=g'f(x)\cdot f'(x)\quad \Rightarrow \text{ passt!}$$

                        Allgemein:
                        $$f^*d(gdx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r})\stackrel{\text{Def. von }d}=f^*(dg\wedge dx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_                                    {i_r} )\stackrel{f^*=\text{Algebrahom.}}=f^*dg\wedge f^*dx_{i_1} \wedge ... \wedge f^*dx_{i_r}$$
                        $$df^*(gdx_{i_1} \wedge ... \wedge dx_{i_r} )=d((g\circ f) df^*dx_{i_1} \wedge ... \wedge f^*dx_{i_r})=d(g\circ f)                                              \wedge f^*dx_{i_1} \wedge ... \wedge f^*dx_{i_r}$$  
        \end{enumerate}
\end{proof}

\paragraph{Beispiele}
        \begin{enumerate}
                \item $\R^n \stackrel {\text{offen}}\supset U \stackrel f \longrightarrow V\stackrel {\text{offen}} \subset \R^m,                                     \quad f(x)=\left( \begin{array}{c}
                                f_1(x)\\
                                \vdots\\
                                f_m(x)\\
                        \end{array}\right),$\\
$ \omega =gdy_{j_1}\wedge ...\wedge
                      dy_{j_r} \in \Omega^r(V)$

                        \begin{eqnarray*}
                                f^*\omega & \stackrel {1.} = & f^*g\cdot
                                f^*dy_{j_1}\wedge ...\wedge f^*dy_{j_r}\\
                                 & \stackrel{3.}= & f^*g\cdot df^*y_{j_1}\wedge ...\wedge df^*y_{j_r}\\
                                 f^*(gdy_{j_1}\wedge ...\wedge dy_{j_r})& =&(g\circ f) df_{j_1}\wedge ...\wedge df_{j_r}\\
                                 %& =f^*(gdy_{j_1}\wedge ...\wedge dy_{j_r})\\
                        \end{eqnarray*}
                        $df_j=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f_j}{\partial x_i} dx_i$
                \item (Fundamentalbeispiel)\\
                        $\R^n \stackrel {\text{offen}}\supset U \longrightarrow V\stackrel {\text{offen}} \subset \R^n \quad \omega=gdy_1\wedge                         ...\wedge dy_n \in\Omega^n V\quad$ ($\omega=$ n-Form)\\
                       \begin{eqnarray*}
                                f^*\omega & =& (g\circ f)df_1\wedge df_2\wedge ...\wedge df_n\\
                                 & =&(g\circ f) (\sum\frac{\partial f_1}{\partial x_{i_1}}dx_{i_1})\wedge (\sum\frac{\partial f_2}{\partial x_{i_2}}                                             dx_{i_2})\wedge...\wedge (\sum_{i_n=1}^n \frac{\partial f_n}{\partial x_{i_n}}dx_{i_n})\\
                                 & =&(g\circ f)(\det(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}))dx_1\wedge dx_2\wedge ...\wedge dx_n\\
                        \end{eqnarray*}                  
        \end{enumerate}
%%% Local Variables: 
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%%% End: 

