
\item \ref{satzunterman3}.) $\Longrightarrow$ \ref{satzunterman1}.) 
         $\R^n \supset M \ni x \; \exists U(x) = $ offene Umgebung von x, \\
         $U(x) \stackrel{f=f(f_{k+1}...f_n)}{\longrightarrow} \R^{n-k} \ni 0$ diffbar mit Rang $f'(y)=n-k \forall y \in U(x)$\\
         $f^{-1}(0) = M \cap U(x) $ lokal l\"asst sich M als Lsg-Menge eines Gleichungssystems angeben\\
         $f'(y)=\left[
        \begin{array}{ccc}
                \frac{\partial f_{k+1}}{\partial y_1}(y) & \dots & \frac{\partial f_{k+1}}{\partial y_n}(y)\\ 
                \vdots &   &  \vdots \\ 
                \frac{\partial f_{n}}{\partial y_1}(y) & \dots & \frac{\partial f_{n}}{\partial y_n}(y)\\ 
        \end{array} \right]$

        Bis auf Umnummerieren seien für $f'(x)$ die letzten n-k-Spalten linear unabh\"angig. Definiere: 
$\begin{array}{ccc}
h: U(x) & \longrightarrow & \R^n \;$diffbar $h(x)=0 \\
y & \longmapsto  & (y_1 - x_1,...,y_k - x_k, f_{k+1} y,... f_{n} y)
\end{array}     $

        $h'(x)=\left[ \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 
 \vdots &  &  &  &  \\ 
f' & f' &  & lin. & un. \\ 
f' & f' &  &  ab &  h"angig
\end{array} \right] $

        Satz von der inversen Funktion liefert: $\exists$ offene Menge $x \in U \subset U(x)$ und eine offene Menge $V \subset \R^n$ mit $R^n \supset U  \stackrel{h=Diffeomorphismus}{\widetilde\longrightarrow}  V$ \\

\item \ref{satzunterman2}.) $\Longrightarrow$ \ref{satzunterman4}.) 
$x \in M \; \exists U = $ off. Umgebung von x in $\R^n$ \\

$\begin{array}{ccc}
U & \stackrel{h}{\widetilde\longrightarrow} & V_1 \times V_2, 0 \in V_1 \subset \R^k, 0 \in V_2 \subset R^{n-k} \\ 
\cup &  & g:V_1 \longrightarrow V_2 $\; diffbar $\\ 
M \cap U & \widetilde\longrightarrow & \Gamma(g)=\{(v_1,g(v_1))| v_1 \in V \}
\end{array} $

Nimm $V=V_1 \stackrel{\varphi=h^{-1}\circ\underbrace{(id,g)}_{\gamma}}{\longrightarrow} \R^n$\\
$v_1 \longrightarrow (v_1,g(v_1)) \stackrel{h^{-1}}\longrightarrow M \cap U$ \\
$\varphi $ ist diffbar.\\

Rang $\varphi'(v_1) = k = $ Rang $\gamma' (v_1)$\\
$\varphi'(y)=( h^{-1} \circ \gamma)' (v_1) = ( k_{-1})' ( \gamma(u_1) ) \gamma'(v_1)$\\
$\gamma (y)=(y_1,...y_k,y_{k+1},...) $ mit $ v_1=y \in \R^k$\\
$\gamma'(y)=\left[ \begin{array}{ccc}
1 &  &  \\ 
 & \ddots &  \\ 
 &  & 1 \\ 
 & g'(y) &  \\ 
 &  & 
\end{array} \right] $

Also ist $\gamma$ Hom\"oomorphismus von $v_1$ und $\Gamma(y)$. $\varphi=h^{-1} \circ \gamma$ ist hom\"oomorph $V_1 \widetilde\longrightarrow M \cap U$.
\end{itemize}
\end{proof}

\paragraph*{Beispiele}
\begin{itemize}
\item Sind M,N Mannigfaltigkeiten, so auch $M \times N$. Dabei versieht man $M
  \times N$ mit der Produktopologie. $M \supset U \stackrel{\varphi}\longrightarrow U' \subset \R^n, N \supset V \stackrel{\psi}\longrightarrow V' \subset \R^n$ seien Karten $(u,v) \mapsto (\varphi(u),\psi(v))$.\\
$$U \times V \stackrel{\varphi \times \psi}\longrightarrow U'  \times V' \subset \R^m \times \R^n = \R^{m+n}$$
$M \times N$ ist hausdorffsch und separabel. dim($M \times N) =$ dim$M$ + dim$N$.
\subparagraph{Beispiel}
$S^1 \times S^1 = $Torus
\subparagraph*{Bemerkung}
Es gibt einen Satz von Whitney der besagt, dass jede $n$-dim Mannigfaltigkeit $M$ diffeomorph ist zu einer Untermannigfaltigkeit $U$ von $\R^{2n+1}$.\\
ABER: 
\begin{itemize}
\item der Diffeomorphismus ist nicht in natürlicher Weise gegeben
\item Schon f\"ur $n=2$ l\"asst uns unsere geometrische Anschauung im Stich
\end{itemize}
\subparagraph*{Beispiel: Quotientenmannigfaltigkeiten}
M=Mfgkeit, G sei eine Gruppe von Diffeomorphismen von M, die diskontinuierlich operieren, d.h. jeder Punkt $x \in M$ hat eine offene Umgebung U mit $g(U) \cap U = \emptyset \forall g \in G, g \neq id$.
\subparagraph*{konkreteres Beispiel}
M = R, $G=\{T_z|z\in \Z \},\; T_z(x)=x+z,\; T_0=id$\\
$M=S^n=\{x \in \R^{n+1}| \parallel x \parallel =1\}$\\
G=\{$\pm id$\}

\begin{satz}
Dann tr\"agt die Menge aller Bahnen M/G die Struktur einer Mannigfaltigkeit, so dass $M \stackrel{\pi}\longrightarrow M/G \;\; (m \longrightarrow [m]=Gm=\{gm| g \in G\})$ diffbar ist und ein lok. Diffeomorphismus. Insb. ist die dim(M/G)=dim(M). Zum Beispiel: $\R/\Z=S^1$
\subparagraph*{Bemerkung}
$\R/\Z=S^1,\; S^n/(\pm id)=: \mathbb{P}^n(\R)=$n-dim projektiver Raum $=\{$Menge aller Ursprungsgeraden in $ \R^{n+1}\}$
\end{satz}
\begin{proof}
Auf M/G f\"uhrt man die sog. Quotiententopologie ein. $M \stackrel{\pi}\longrightarrow M/G \;\; (m \longrightarrow [m]=\pi m)$.  $V \subset M/G $ offen $ : \Leftrightarrow  \pi^{-1} (V)$ ist offen. Dies liefert eine Topologie auf M/G für die $\pi$ stetig ist. $M \supset U$ heisse klein, falls $gU \cap U = \emptyset \; \forall g \neq 1, g\in G$. Für U klein ist $M \supset U \stackrel{\pi u}{\widetilde\longrightarrow} \pi \subset M/G $ ein Hom\"oomorphismus. $\pi^{-1}(\pi(U))=\bigcup_{g \in G} gU =$ offen.\\
Als Karten auf M/G nimm die $\pi(U)\stackrel{\pi^{-1}}\longleftarrow U \stackrel{\varphi}\longrightarrow U'$, wobei die U's klein sind. \"Uberpr\"ufe, ob die Axiome erf\"ullt sind!
\end{proof}
\end{itemize}

\subsection*{Tangentialr\"aume}
\begin{defi}
Sei M eine Mfgkeit, $x \in M$. Der Tangentialraum $T_xM$ an M in x ist
 definiert als die Menge aller \"Aquivalenzklassen $[(U, \varphi, v)]$ von
 Tripeln $(U, \varphi, v)$, wobei  $U\stackrel{\varphi}\longrightarrow
 U' \subset \R^n$ eine Karte ist und $v \in \R^n$ bel. Dabei heißt $$(U,
 \varphi, v) \sim (V, \psi, w): \Leftrightarrow (\Psi \circ \varphi^{-1})'(\varphi x)v=w$$
\end{defi}

\paragraph{Bemerkung}
\begin{enumerate}
\item $\sim$ ist wirklich eine \"Aquivalenzrelation:\\
  (U,$\varphi$,u) $\sim$ (V,$\varphi$,v) , da $(\psi \circ \varphi^{-1})^{-1}=\varphi \circ \psi^{-1}$\\
  (U,$\varphi$,u) $\sim$ (V,$\psi$,v) $\Rightarrow (V,\varphi,w) \sim (U,\varphi,v)$, da $(\varphi \circ \psi^{-1})'(\psi x) v= v$ \\
  (U,$\varphi$,u) $\sim$ (V,$\psi$,v) und (V,$\psi$,v) $\sim$ (W,$\chi$,w) $\Rightarrow (U,\varphi,u) \sim (W,\chi,w)$ \\
  $(\psi \circ \varphi^{-1})'(\varphi x)u=v, \;\;(\chi \circ \psi^{-1})'(\psi x)v=w,\;\;(\chi \circ \varphi^{-1})'(\varphi x)u=w$\\
  $\chi \circ \varphi^{-1}=(\chi \circ \psi^{-1})(\psi \circ \varphi^{-1}) $\\
  $(\chi \circ \varphi^{-1})'(\varphi x)=(\chi \circ \psi^{-1})'(\psi x)(\psi \circ \varphi^{-1})'(\varphi x) $\\
  Daraus folgt

$(\chi \circ \psi^{-1})'(\psi x) v =(\chi \circ \psi^{-1})'(\psi x)(\psi
  \circ \varphi^{-1})'(\varphi x)u=(\chi \circ \varphi^{-1})'(\varphi x)u $
\item F"ur jede Karte (U,$\varphi$) mit $x \in U$ erh"alt man eine Bijektion
  $\R^n \widetilde\longrightarrow T_xM$

  $\R^n \owns v \longmapsto [(U,\varphi,v)]$, denn: $v \neq v' \;$ F"ur $[(U,\varphi,v)]=[(U,\varphi,v')]$ w"are $(U,\varphi,v) \sim (U,\varphi,v')$, d.h. $id v=v' \Rightarrow$ injektiv\\
  Sei nun [(V,$\varphi$,w)] gegeben. Nimm $(U,\varphi,(\varphi \circ
  \psi^{-1})'(\psi x)w)$
 
Auf $T_xM$ definiert man die Struktur eines VR via der Bijektion $\R^n
\longrightarrow T_xM$,
d.h. $[(U,\varphi,v_1)]+[(U,\varphi,v_2)]=[(U,\varphi,v_1+v_2)]$. Diese
Definition ist unabh\"angig von der Wahl der Karten, denn:

Sei (V,$\psi$) eine andere Karte $(U,\varphi,v_i) \sim (V, \psi, w_i)$ für i=1,2.\\
Also $(\psi \circ \varphi^{-1})'(\varphi x)v_i=w_i \;\; \Rightarrow (\psi
\circ \varphi^{-1})'(\varphi x)(v_1+v_2)=(\psi \circ \varphi^{-1})'(\varphi
x)(v_1)+(\psi \circ \varphi^{-1})'(\varphi x)(v_2)=w_1+w_2 \Rightarrow
(U,\varphi,v_1+v_2) \sim (V,\psi,w_1+w_2)$
\end{enumerate}

%$
%\begin{array}{ccc}
%U & \overset{offen}{\subset } & M=\text{Mannigfaltigkeit hier der Dim.n} \\
%\downarrow \text{ \ } &  &  \\
%U^{\prime }\subset \mathbb{R}^{n} &  &
%\end{array}
%$

%$T_{x}M$=Tangentialraum an $M$ im Punkt $x$=V.R. der Dim n

%$\begin{array}{c}
%\left\{ \left[ \left( U,\varphi ,v\right) \right] \right\} \widetilde{%
%\longleftarrow }\mathbb{R}^{n} \\ 
%\left[ \left( U,\varphi ,v\right) \right] \longleftarrow v
%\end{array}
%\qquad \left( U_{1},\varphi _{1},v_{1}\right) \symbol{126}\left(
%U_{2},\varphi _{2},v_{2}\right) \Longleftrightarrow \left( \varphi _{2}\circ
%\varphi _{1}^{-1}\right) \left( \varphi _{1}x\right) v_{1}=v_{2}$\\


\begin{defi}[Tangentialabbildung]
\begin{tabular}[t]{rcl}
$f: M$ & $\longrightarrow$ & $N$ \\
$x$ & $\longmapsto$ & $fx$
\end{tabular} differenzierbar $(C^{p},p\geq 1)$

Dann $\exists $ lineare Abb. $T_{x}f:T_{x}M\longrightarrow T_{fx}N$, $T_{x}f$
=Tangentialabb. von $f$ im Punkt $x$ (=Ableitung oder Differential von $f$ in
$x$)

Zur Definition w\"{a}hlt man Karten $\left( U_{1},\varphi _{1}\right) $ um $%
x$ und $\left( V_{1},\psi _{1}\right) $\ um $fx$ mit $f(U_{1})\subset V_{1}$
(geht nach geeigneter Wahl von $U_{1}$)

\begin{center}
  $
\begin{array}{ccc}
M & \overset{f=stetig}{\longrightarrow } & N \\
\cup  &  & \cup  \\ 
x\in U_{1} & \supset U_{1}\cap f^{-1}V_{1}\longrightarrow  & V_{1}\ni fx \\
\downarrow \varphi  & \downarrow \varphi  & \downarrow \text{ \ \ } \\
U_{1}^{\prime } & \varphi \left( U_{1}\cap f^{-1}V_{1}\right)  &
V_{1}^{\prime }\overset{offen}{\subset }\mathbb{R}^{n}
\end{array}
$ $\ \ \ \ \ \ \ 
\begin{tabular}{l}
Nun w\"{a}hlt man $U_{1}$\ so, dass  \\
$U_{1}=U_{1}\cap f^{-1}V_{1}$ \\
und das oben Gesagte gilt.
\end{tabular}
$
\end{center}

$$ \left( T_{x}f\right) \left[ \left( U_{1},\varphi
    _{1},v_{1}\right) \right] =\left[ \left( V_{1},\psi _{1},\left( \psi
      _{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}\right) ^{\prime }\left( \varphi
      _{1}x\right) v_{1}\right) \right] \in T_{fx}N $$
\end{defi}

Das ist wohldefiniert, falls:\\
$\left( U_{1},\varphi _{1},v_{1}\right) \sim \left( U_{2},\varphi
_{2},v_{2}\right) \Longrightarrow \left( V_{1},\psi _{1},\left( \psi
_{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}\right) ^{\prime }\left( \varphi
_{1}x\right) v_{1}\right) \sim \left( V_{2},\psi _{2},\left( \psi
_{2}\circ f\circ \varphi _{2}^{-1}\right) ^{\prime }\left( \varphi
_{2}x\right) v_{2}\right) $

Zu zeigen ist, dass wenn gilt:\\
$\left( U_{1},\varphi _{1},v_{1}\right) \sim \left( U_{2},\varphi
_{2},v_{2}\right) \Longleftrightarrow \left( \varphi _{2}\circ \varphi
_{1}^{-1}\right) ^{\prime }\left( \varphi _{1}x\right) v_{1}=v_{2}$

Dass dann auch:\\
$\left( \psi _{1}\circ \psi _{2}^{-1}\right) \left( \psi _{2}fx\right)
\left( \psi _{2}\circ f\circ \varphi _{2}^{-1}\right) ^{\prime }\left(
\varphi _{2}x\right) v_{2}=\left( \psi _{1}\circ f\circ \varphi
_{1}^{-1}\right) ^{\prime }\left( \varphi _{1}x\right) v_{1}$

Das gilt, da:\\
$\left( \psi _{1}\circ f\circ \varphi _{1}^{-1}\right) ^{\prime }\left(
\varphi _{1}x\right) v_{1}=\left( \left[ \psi _{1}\circ \psi _{2}^{-1}\right]
\circ \left[ \psi _{2}\circ f\circ \varphi _{2}^{-1}\right] \circ \left[
\varphi _{2}\circ \varphi _{1}^{-1}\right] \right) ^{\prime }\left( \varphi
_{1}x\right) v_{1}$

$=\left( \psi _{1}\circ \psi _{2}^{-1}\right) ^{\prime }\left( \psi
_{2}fx\right) \left( \psi _{2}\circ f\circ \varphi _{2}^{-1}\right) ^{\prime
}\left( \varphi _{2}x\right) \underset{v_{2}}{\underbrace{\left( \varphi
_{2}\circ \varphi _{1}^{-1}\right) ^{\prime }\left( \varphi _{1}x\right)
v_{1}}}$

Aus $\left[ \left( U,\varphi ,v_{1}\right) \right] +\left[ \left( U,\varphi
,v_{2}\right) \right] =\left[ \left( U,\varphi ,v_{1}+v_{2}\right) \right] $
folgt dann, dass $T_{x}f$ linear ist:

$T_{x}f$ $\left( \left[ \left( U,\varphi ,v_{1}\right) \right] +\left[
\left( U,\varphi ,v_{2}\right) \right] \right) =T_{x}f$ $\left( \left(
U,\varphi ,v_{1}+v_{2}\right) \right) =\left[ \left( V,\psi ,\left( \psi
\circ f\circ \varphi ^{-1}\right) ^{\prime }\left( \varphi x\right) \left(
v_{1}+v_{2}\right) \right) \right] $

Analog gilt:\ $T_{x}f$ $\left( \lambda w\right) =\lambda T_{x}f$ $\left(
w\right) $ mit $w\in T_{x}M$

\paragraph{Bemerkung}
\begin{enumerate}
\item $M\overset{id}{\longrightarrow }M$ \ diffbar $\Longrightarrow \left(
T_{x}id_{M}\right) :T_{x}M\longrightarrow T_{x}M$ also:$\left(
T_{x}id_{M}\right) =id_{T_{x}M}$

$M\overset{f}{\longrightarrow }N\overset{g}{\longrightarrow }L$ \ $f,g$
diffbar $\Longrightarrow T_{x}\left( g\circ f\right) =T_{fx}g\circ T_{x}f$
(Umformung der Kettenregel)
\begin{center}
$
\begin{array}{cccc}
T_{x}\left( g\circ f\right) : & T_{x}M & \longrightarrow  & T_{g\left(
fx\right) }L \\
& T_{x}f\searrow  & \circlearrowleft  & \nearrow T_{fx}g \\ 
&  & T_{fx}N &
\end{array}
$
\end{center}
\item $
\begin{array}[t]{ccc}
x\in M\overset{\varepsilon }{\supset } & U \overset{\varphi }{\widetilde{%
\longrightarrow }} U^{\prime }\subset \mathbb{R}^{n} & \varphi
: \text{Diffeomorphismus},  x\in U\\
\text{diffbar}\uparrow  & & T_{x}U \overset{T_{x}\varepsilon }{\widetilde{%
\longrightarrow }} T_{x}M \\
&  & \left( U,\varphi ,v\right) \longrightarrow \left[ \left( U,\varphi
,v\right) \right]
\end{array}
$

\begin{center}
$
\begin{array}{ccc}
M & \overset{f}{\longrightarrow } & N \\ 
\cup \varepsilon  & \circlearrowleft  & \cup \varepsilon  \\
U & \overset{f}{\longrightarrow } & V \\ 
\varphi \downarrow  &  & \downarrow \psi  \\
\mathbb{R}^{n}\supset U^{\prime } & \longrightarrow  & V^{\prime }\subset 
\mathbb{R}^{n} \\
y & \mapsto  & \left( F_{1}y,\ldots ,F_{n}y\right) 
\end{array}
\qquad \qquad 
\begin{array}{ccc}
T_{x}M & \overset{T_{x}f}{\longrightarrow } & T_{fx}N \\ 
\uparrow  & \circlearrowleft  & \uparrow  \\
T_{x}U & \overset{T_{x}f}{\longrightarrow } & T_{x}V \\ 
T_{x}\varphi \downarrow  &  & \downarrow \text{{\small \textsc{T}$_{x}\psi $}%
} \\ 
T_{x}U^{\prime } & \longrightarrow  & T_{x}V^{\prime } \\
Jakobi & \overset{\updownarrow }{-Matrix} & zu\left( \psi \circ f\circ
\varphi ^{-1}\right)
\end{array}
$
\end{center}

Aus $\varphi \circ \varphi ^{-1}=id_{M}$ folgt: $T_{\varphi x}\varphi
^{-1}\circ T_{x}\varphi =T_{x}id_{M}=id_{T_{x}M}$
\end{enumerate} 

$M\subset \mathbb{R}^{n}$ sei Untermannigfaltigkeit, dann ist $\varepsilon $
diffbar, induziert also eine Abb. $T_{x}M\overset{T_{x}\varepsilon }{%
\longrightarrow }T_{x}\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{n}$

Also: $T_{x}M\widetilde{\longrightarrow }T_{x}\varepsilon \left(
T_{x}M\right) =$ Unterraum von $\mathbb{R}^{n}$ Frage: Welcher?

Das h\"{a}ngt ab von der lokalen Beschreibung von $M$ als
Untermannigfaltigkeit:

\begin{enumerate}
\item (Implizite Beschreibung) F\"{u}r x$\in M$ sei $U\left( x\right) \overset{%
offen}{\subset }\mathbb{R}^{n}, f:U\left( x\right) \longrightarrow \R^{n-k}$
diffbar mit Rang$f' \left( y\right) =n-k \; \forall y\in U\left(
x\right), M\cap U\left( x\right) =f^{-1}\left( 0\right)$

Dann ist $T_{x}M\widetilde{\to} BildT_{x}\varepsilon =\left\{ v\in \R^n|f'\left( x\right) v=0\right\} =$Kern$f'\left( x\right) $

$
\begin{array}{ccc}
M & \overset{\varepsilon }{\subset } & \mathbb{R}^{n} \\ 
\cup  & \circlearrowleft  & \cup  \\
M\cap U\left( x\right)  & \overset{\varepsilon }{\longrightarrow } & U\left(
x\right)  \\
0=f\circ \varepsilon  & \searrow  & \downarrow f \\ 
&  & \mathbb{R}^{n-k}
\end{array}
\qquad
%\begin{array}{c}
%0=T_x0 = T_x(f\circ\varepsilon) = T_xf\circ T_{x}\varepsilon \text{ wobei }T_{x}f=f\prime \left(
%x\right)  \\ 
%\text{Also }T_{x}\varepsilon \left( T_{x}M\right) \subset \text{Kern}f\prime
%\left( x\right)  \\ 
%\text{aus Dimmensionsgr\"{u}nden folgt}=
%\end{array}
$

$0=T_x0 = T_x(f\circ\varepsilon) = T_xf\circ T_{x}\varepsilon \text{ wobei }T_{x}f=f'\left(x\right)$\\
Also $T_{x}\varepsilon \left( T_{x}M\right) \subset \text{Kern}f'\left(
  x\right)$. Aus Dimensionsgr"unden (dim Kern$f'(x)=k$) folgt Gleichheit.

\item (lokale Parameterdarstellung)

$
\begin{array}{ccc}
0 & \mapsto  & x \\ 
\mathbb{R}^{k}\overset{offen}{\supset }V & \overset{\varphi =diffbar}{%
\longrightarrow } & \mathbb{R}^{n} \\ 
& \searrow \text{ \ }\circlearrowleft  & \uparrow  \\
\text{Hom"oom.} &  & M\cap U
\end{array}
\qquad \text{Rang}\varphi'(v)=k \; \forall v\in V$\\

$
\begin{array}{cccc}
T_{0}V & \overset{T_{0}\varphi }{\longrightarrow } & T_{x}\mathbb{R}^{n} & =%
\mathbb{R}^{n} \\
\searrow  & \circlearrowleft  & \nearrow T_{x}\varepsilon  &  \\ 
& T_{x}\left( M\cap U\right)  \\

&& \widetilde{\longleftarrow } & T_{x}M
\end{array}$\\



$T_{x}\varepsilon \circ T_{x}M=T_{0}\varphi \left( T_{0}V\right) =\varphi'\left( 0\right) \mathbb{R}^{k}=\left\langle \varphi'\left( 0\right) e_{i}|i=1,\ldots ,n\right\rangle 
=\left\langle \left[ 
\begin{array}{c}
\frac{\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}} \\ 
\\
\frac{\partial \varphi _{n}}{\partial x_{1}}
\end{array}
\right] ,\ldots \right\rangle$
\end{enumerate}


\begin{defi}[Zerlegung der Eins]
Sei X top. Raum
\begin{enumerate}
\item Der Tr\"{a}ger $T\left( \varphi \right) $ einer Funktion $\varphi
:X\longrightarrow \mathbb{R}$ ist der Abschluss der Menge aller Punkte wo $%
\varphi \left( x\right) \neq 0,$ also

\begin{center}
  $T\left( \varphi \right) =\overline{\left\{ x\in X|\varphi \left( x\right)
      \neq 0\right\} }$
\end{center}

\item Ein System $\left( X_{i}\right) _{i\in I}$ von Teilmengen von X hei\ss t
lokal-endlich, falls es f\"{u}r jeden Punkt $x\in X$ eine offene Umgebung $U$
von $x$ gibt, so dass $U\cap X_{i}\neq \emptyset$ nur f\"{u}r endlich viele $i\in I$
gilt.

\item Eine Zerlegung der Eins auf $X$ ist eine Familie $\varphi
_{i}:X\longrightarrow \left[ 0,1\right] ,$ $i\in I$ , derart, dass die Familie
der Tr\"{a}ger $\left( T\left( \varphi _{i}\right) \right) _{i\in I}$
lokal-endlich ist und $1=\sum\limits_{i\in I}\varphi _{i}\left( x\right)
\forall x\in X$
\end{enumerate}
\end{defi}


\begin{satz}
$M$ sei $C^{p}$ Mannigfaltigkeit mit einer offenen Überdeckung $\left(
M_{i}\right) _{i\in I}$. Dann gibt es eine abz\"{a}hlbare Zerlegung der Eins
durch $C^{p}$ Funktionen $\varphi _{j}:M\longrightarrow \mathbb{R}, j\in 
\mathbb{N}$ derart, dass die Tr\"{a}ger $T\left( \varphi _{j}\right) $ alle
kompakt sind und  f"ur jedes $j\in \mathbb{N}$ ein $i(j)\in I$ existiert
mit $T\left( \varphi _{j}\right) \subset M_{i(j)}$.
\end{satz}

\paragraph{Bemerkung}
Z.B. seien die $\left( M_{i}\right) _{i\in I}$ die Karten eines
Atlanten. Dann ist $T\left( \varphi _{j}\right) $ stets in einer Karte
enthalten. $f:M\longrightarrow \mathbb{R}$ zerlegt sich dann in: $f=f\cdot
1=\sum\limits_{j\in \mathbb{N}}\left( f\varphi _{i}\right) $ und $T\left(
f\varphi _{i}\right) \subset T\left( \varphi _{i}\right) \subset Karte$


\begin{proof}
1.Schritt: $\exists $ Basis f\"{u}r Topologie von M von offenen Mengen $%
U_{i},i\in \mathbb{N}$ so dass die $\overline{U_{i}}=$ kompakt sind, denn:

Jede Mannigfaltigkeit M ist lokal-kompakt. d.h. jeder Punkt $x\in M$
besitzt offene Umgebung $U_{x}$, so dass $\overline{U_{x}}$ kompakt ist.
Sei dazu $
\begin{array}{ccc}
U & \overset{\varphi }{\longrightarrow } & U^{\prime }\overset{offen}{%
\subset }\mathbb{R}^{n} \\
x & \mapsto  & \varphi x
\end{array}
$ ist eine Karte um x. Dann $\exists $ kompakte $U_{\varepsilon }\left(
\varphi x\right) \subset U^{\prime }$ mit $U_{\varepsilon }\left( \varphi
x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R}^{n}|\left\| y-\varphi x\right\| \leq
\varepsilon \right\} ,U_{x}=\varphi ^{-1}\left( U_{\varepsilon }\left(
\varphi x\right) \right) $ leistet das gew\"{u}nschte. M ist aber seperabel
, d.h. $\exists $abz\"{a}hlbare Menge $\left\{ V_{i}|i\in \mathbb{N}\right\}
$ offener Mengen, so dass jede offene Menge Vereinigung gewisser $V_{i}$
sind. Nimm nur noch $\left\{ V_{i}|i\in \mathbb{N},\exists \text{offene Menge%
}U\text{ mit }\overline{U}\text{ kompakt},V_{i}\subset U\right\} $ Dann ist
der Abschluss jedes derartigen $V_{i}$ wegen $\overline{V_{i}}\subset
\overline{U}$ schon kompakt. Die \"{u}briggebliebenen sind schon eine
Basis. Taufe sie $U_{i}$.

2.Schritt: $\exists $Folge $A_{1}\subset \ldots \subset A_{i}\subset A_{i+1}$
von kompakten Teilmengen von $A_{i}\subset A%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
_{i+1}=$offen Kern von $A_{i+1}=$ Vereinigung aller offenen Teilmengen von $%
A_{i+1}=$ gr\"{o}\ss te offene Teilmenge von $A_{i+1}$ da:

F\"{u}r $A_{1}=\overline{U_{1}}$ seien bereits $A_{1},A_{2},\ldots A_{i}$
konstruiert. M=$\bigcup\limits_{j\in \mathbb{N}}U_{j}\supset A_{i}=$
kompakt. W\"{a}hle kleinsten Index j mit $
\begin{array}{ccc}
A_{i}\subset U_{1}\cup \ldots \cup  & \subset A_{i+1} & :=\overline{U_{1}}%
\cup \ldots \cup \overline{U_{j}}=\text{kompakt} \\
& \subset A%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
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{{}^\circ}%
%EndExpansion
_{i+1} &
\end{array}
$ Wegen $A_{i-1}\subset A%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
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{{}^\circ}%
%EndExpansion
_{i}\subset A_{i+1}\subset A%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
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{{}^\circ}%
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_{i+2},$ $
\begin{array}{cc}
A_{i+1}\backslash A%
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{{}^\circ}%
%EndExpansion
_{i} & =A_{i+1}\cap \left( M\backslash A%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
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{{}^\circ}%
%EndExpansion
_{i}\right) =\text{kompakt} \\
& \supseteq A%
%TCIMACRO{\UNICODE[m]{0xb0}}%
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{{}^\circ}%
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_{i+2}\backslash A_{i-1}=\text{offen \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }
\end{array}
$



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 
