\section{Differenzierbare Mannigfaltigkeiten}
Konfigurationsr"aume sind h"aufig komplizierter als offene Mengen in einem
Vektorraum ($\R^n$).

Zum Beispiel: $\mathbb{S}^2 = \{x \in \R^3 \mid \|x\| =
1\}$ Man m"ochte 
\begin{enumerate}
\item Abbildungen $f: \mathbb{S}^2 \rightarrow X$ differenzieren (Frage: Was
  ist $X$?)
\item Abbildungen $f: \mathbb{S}^2 \rightarrow \R$ integrieren (Vektoranalyis)
\end{enumerate}

\begin{defi}
  Seien $X, Y$ topologische R"aume.
  \begin{enumerate}
  \item $X$ hei"st \emph{separiert} oder Hausdorffsch, falls zwei Punkte sich durch
    offene Mengen trennen lassen, d~.h.
    $$x,y \in X, x\not= y \Rightarrow \exists \text{ offene Mengen } U,V
    \text{ mit } U \cap V = \emptyset, x \in U, y\in V$$
    \item $X$ hat abz"ahlbare Basis ($X$ ist \emph{separabel}), falls abz"ahlbar
      viele offene Mengen $(U_i)_{i \in \N}$ existieren, so da"s
      $U=\cup_{U_i\subseteq U}U_i$ f"ur jede offene Menge $U$.
   \item Auf jedem Produkt $X \times Y$ hat man die sogenannte
     \emph{Produkttopologie}. Als Basis daf"ur nimmt man $U \times V$ mit $U$ offen
     in $X$, $V$ offen in $Y$.
   \item Ist $Z$ Teilmenge von $X$, so definiert man auf $Z$ die sogenannte
     \emph{Spurtopologie} oder \emph{Relativtopologie} durch $\{U \cap Z | U \text{ offen in
       } X\}$.
   \item $X$ hei"st zusammenh"angend, falls aus $X = X_1 \dot{\cup} X_2, X_i$
     offen, stets $X_1 = \emptyset$ oder $X_2 = \emptyset$ folgt.
  \end{enumerate}
\end{defi}

\paragraph{Bemerkungen und Beispiele}
\begin{enumerate}
\item $\R^n$ mit der "ublichen Topologie ist separiert und separabel.
  $$U \text{ offen} :\Leftrightarrow \forall x \in U, \exists \epsilon > 0:
  U_\epsilon(x)=\{y | \underbrace{d(x,y)}_{\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}} <
  \epsilon\} \subset U$$

  $\R^2 = \R \times \R$ tr"agt die Produkttopologie.
  \item $X=\R\supset Z= [0,1)$

    $Z$ ist in $X$ weder offen noch abgeschlossen.
    $Z$ ist bez"uglich der Relativtopologie auf $Z$ sowohl offen als auch
    abgeschlossen.

    Offen und abgeschlossen sind relative Begriffe, Kompaktheit nicht.
\end{enumerate}

\begin{defi}[Karte, Atlas, Mannigfaltigkeit]
  Sei $M$ ein topologischer Raum, $x \in M, p\in\{1,2,
  \ldots\}\cup\{\infty\}$
  \begin{enumerate}
  \item Eine ($n$-dimensionale) \emph{Karte} um $x$ ist ein Hom"oomorphismus
    $U \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} U'$, wobei $U$ eine offene Umgebung
    von $x$ in $M$ ist und $U'$ eine offene Teilmenge in $\R^n$. Man schreibt
    $\varphi(x) = (\varphi_1(x), \ldots , \varphi_n(x))=(y_1, \ldots, y_n)$
    und nennt die $\varphi_i(x)$ bzw.~ die $y_i$ lokale Koordinaten von $x$
    bzgl.~ der Karte $\varphi$. Man schreibt f"ur eine Karte oft $(U,
    \varphi)$ oder nur $U$.
   \item Zwei $n$-dimensionale Karten hei"sen vertr"aglich (von der
     Differenzierbarkeitsklasse $p$), falls die Kartenwechsel
     $C^p$-Abbildungen sind.

     $\varphi\circ\psi^{-1}$ und $\psi\circ\varphi^{-1}$ sind
     $C^p$-Abbildungen. Dabei ist
     \begin{eqnarray*}
       \varphi\circ\psi^{-1}: \psi(U\cap V) \to \varphi(U\cap V)\\
       \psi\circ\varphi^{-1}: \varphi(U\cap V) \to \psi(U\cap V)
     \end{eqnarray*}
  \begin{figure}[h]
    \begin{center}
      \includegraphics*{skizze01}
    \end{center}
\end{figure}
   \item Ein differenzierbarer Atlas $\D$ der Klasse $C^p$ ist eine Familie
     $\D=\{(U,\varphi)\}$ ($n$-dimensionaler) vertr"aglicher Karten mit
     $M=\bigcup\limits_{(U, \varphi)\in\D}U$
   \item Ein Atlas $\D$ hei"st \emph{maximal}, wenn er in keinem Atlas echt
     enthalten ist, d.~h.~ wenn alle Karten, die mit allen Karten aus $\D$
     vertr"aglich sind, schon zu $\D$ geh"oren.
   \item Eine $n$-dimensionale $C^p$-Mannigfaltigkeit ist ein Paar $(M, \D)$
     bestehend aus $M=$ separierter und separabler
     topologischer Raum, $\D=$ maximaler Atlas von $C^p$-vertr"aglichen Karten.
  \end{enumerate}
\end{defi}

\paragraph{Bemerkungen und Beispiele}
\begin{enumerate}
\item Jeder Atlas $\D$ liegt in genau einem maximalen Atlas
  $\tilde{\D}$. \\$\tilde{\D}=\{(U, \varphi), \varphi \text{ vertr"aglich mit
    allen } (V,\psi)\in\D\}$

  Beim Nachweis, da"s $M$ eine Mannigfaltigkeit ist gen"ugt es also einen
  Atlas anzugeben.
\item Mei"st l"asst man $\D$ weg. \emph{Aber:} i.~A.~ tr"agt derselbe
  topologische Raum wesentlich verschiedene differenzierbare Strukturen.
  \item Offene, zusammenh"angende Teilmengen $U$ von $\R^n$ sind
    $C^\infty$-Mannigfaltigkeiten.
  \item $\mathbb{S}^1=\{z\in\C \mid |z|=1\}$ mit stereographischer Projektion
\end{enumerate}

\begin{defi}[Differenzierbarkeit]
  Seien $M, N$ $C^p$-Mannigfaltigkeiten der Dimensionen $m$ und $n$. Eine
  Abbildung $f: M \to N$ hei"st $p$-fach differenzierbar, falls $f$ stetig und
  zu jedem Punkt $x\in M$ Karten $(U,\varphi)$ um $x$, $(V,\psi)$ um $fx$
  existieren, so da"s $\psi\circ f \circ\varphi^{-1}: \varphi(U\cap f^{-1}V)
  \to V'$ $p$-fach differenzierbar ist. $M$ und $N$ hei"sen diffeomorph, falls
  $f$ bijektiv und $f, f^{-1}$ $p$-fach differenzierbar.
  \begin{figure}[h]
    \begin{center}
      \includegraphics*{skizze02}
    \end{center}
\end{figure}
%\includegraphics*[width=3cm]{skizze01}
\end{defi}
\subparagraph{Standardkriterium}
$f=(f_1, \ldots, f_n), f'(x_0)=\left(
  \begin{array}{ccc}
    \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0)&\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial
    x_m}(x_0)\\
  \vdots&&\vdots\\
  \frac{\partial f_n}{\partial x_1}(x_0)&\cdots&\frac{\partial f_n}{\partial
    x_m}(x_0)
  \end{array}\right)$

$f$ einmal stetig differenzierbar in $U$ $\Leftrightarrow$ Alle
$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ existieren und sind stetig.

$f$ $p$-mal stetig differenzierbar $\Leftrightarrow$ Alle
$\frac{\partial^p f}{\partial^{\nu_1} x_1 \cdots \partial^{\nu_n} x_n},
\sum\nu_i=p$ existieren und sind stetig.
$f'(x_0)\in \text{Hom}(\R^m,\R^n)$, $f':U\to\text{Hom}(\R^m,\R^n)$

\begin{eqnarray*}
\R^m\supset U \stackrel{f}{\to} \R^n \text{ differenzierbar in } x_0 \in U
&:\Leftrightarrow& f'(x_0): \R^m \to \R^n \text{ linear}\\
&&f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\rho(x)\\
&&\text{mit } \rho:U\to\R^n, \lim_{x\to x_0}\left\|\frac{\rho(x)}{\|x-x_0\|}\right\|=0
\end{eqnarray*}
\paragraph{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\item $f$ differenzierbar in $x \Longrightarrow$ Alle Karten um $x$ und um
  $fx$ leisten das Gew"unschte.\\
  $\psi_1\circ f\circ\varphi_1^{-1}$ differenzierbar $\Longrightarrow$
  $(\psi_2\circ\psi_1^{-1})\circ\psi_1\circ
  f\circ\varphi_1^{-1}\circ(\varphi_1\circ\varphi_2^{-1})=\psi_2\circ f \circ
  \varphi_2^{-1}$
\item Ist $M$ eine Mannigfaltigkeit $U\subset M$ offen, so ist $U$ wieder
  Mannigfaltigkeit. Der Atlas zu $U$ besteht aus $(U\cap U',
  \varphi|_{U\cap U'})$ mit $(U', \varphi)=$ Karte von $M$.
\end{enumerate}

\begin{satz}[Untermannigfaltigkeiten des $\R^n$]
  Schreibe $\R^n = \R^k \times \R^{n-k}, 1 \le p \le \infty$ fest.
  F"ur eine Teilmenge $M\subset \R^n = \R^k \times \R^{n-k}$, $x=((x_1,\ldots,
  x_k),(x_{k+1}, \ldots, x_n)) \in M$ sind "aquivalent:
  \begin{enumerate}
  \item \label{satzunterman1}$M$ ist eine $k$-dimensionale $C^p$-Untermannigfaltigkeit von $\R^n$,
    d.~h.~ f"ur jeden Punkt $x\in M$ gibt es eine offene Umgebung
    $U=U(x)\subset \R^n$ und einen $C^p$-Diffeomorphismus (krummlinieger Koordinatenwechsel)
    \begin{eqnarray*}
      U(x) & \stackrel{h}{\widetilde\longrightarrow} & V \subset \R^n \text{ so da"s}\\
      \cup & & \cup\\
      M\cap U(x) & \widetilde\longrightarrow & h(M\cap U(x))=V\cap(\R^k \times\{0\})
    \end{eqnarray*}
    ("`lokal sitzt $M$ in $\R^n$ wie der $\R^k$"')
    \item \label{satzunterman2}$\forall x \in M \, \exists$ offene Umgebung $U$ von $x$, ein
      $C^p$-Diffeomorphismus $h: U \to V=V_1 \times V_2$ mit $V_1$ offen in
      $\R^k$, $V_2$ offen in $\R^{n-k}$, eine $C^p$-Abbildung $g: V_1 \to V_2$
      mit
      \begin{eqnarray*}
        U & \stackrel{h}{\longrightarrow} & V_1 \times V_2\\
        \cup & x \mapsto 0 & \cup\\
        M\cap U & \longrightarrow & h(M\cap U) =
        \Gamma(g)=\{(v_1,gv_1)|v_1 \in V_1\}
      \end{eqnarray*}
      (lokal ist $M$ ein Graph, d.~h.~ ein "`Gebirge"' "uber $V_1$)
    \item \label{satzunterman3}$\forall x \in M \, \exists U(x), \exists$
          \begin{tabular}[t]{rcl}
            $f: U(x)$ & $\to$ & $\R^{n-k}$\\
            $u$ & $\mapsto$ & $(f_{k+1}u,\ldots , f_nu)$
          \end{tabular} $C^p$-Abbildung mit Rang$f'(u)=n-k \, \forall u \in
            U(x)$, so da"s $M\cap U = f^{-1}(0)=\{u|f_j(u)=0\forall j\}$

        (lokal wird $M$ als L"osungsmenge gew"ohnlicher Gleichungen gegeben)
     \item \label{satzunterman4}$\forall x \in M \, \exists V \subset \R^k$ offen, $0 \in V$ und eine
       $C^p$-Abbildung $\varphi: V \to \R^n$ mit
       \begin{enumerate}
       \item Rang$\varphi'(v)=k \, \forall v\in V$
       \item $\varphi$ ist ein Hom"oomorphismus
         \begin{tabular}[t]{rcll}
           $V$&$\to$&$\varphi(V)$ & = offene Umgebung von $x$ in $M$\\
              & & & $=M\cap U, U$ offen in $\R^n$ \\
           $0$&$\mapsto$&$x$ &
         \end{tabular}
       \end{enumerate}
       (lokale Parameterdarstellung von $M$)
  \end{enumerate}
\end{satz}
  \begin{defi}
    Eine Menge, die diese Bedingungen erf"ullt hei"st
    $k$-dimensionale $C^p$-Untermannigfaltigkeit.
  \end{defi}

\paragraph{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\item Verschiedene Beschreibungsm"oglichkeiten sind analog zur Beschreibung
  von Geraden, etc.~ in der Analytischen Geometrie.
  \item Untermannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten.
  \item Mit \ref{satzunterman3}.) gewinnt man oft Untermannigfaltigkeiten z.~B.
    \begin{enumerate}
    \item 
      \begin{eqnarray*}
      f:\R^n &\to& \R\\
      x&\mapsto&\sum x_i^2-1
    \end{eqnarray*}
    $f'(x)=2x$ Rang$f'(x)=1 \forall x\not=0$, $f$ ist $C^\infty$
    $M=\mathbb{S}^{n-1}:=f^{-1}(0)=\{x\mid\sum x_i=1\}=(n-1)$-Sph"are ist
    $(n-1)$-dimensionale $C^\infty$-Untermannigfaltigkeit von $\R^n$.
    $U(x)=\R^n\setminus\{0\}$ unabh"angig von $x$.
   \item $\varphi: \R\supset V=(-\infty,2\pi) \to \R^2$, 
     $\varphi(t)=
     \begin{cases}
       (1,t)&t\le 0\\
       (\cos t,\sin t)&0\le t<2\pi
     \end{cases}$\\
     $\varphi$ ist injektiv $\varphi'(t)= 
     \begin{cases}
       (0,1)&t\le 0\\
       (-\sin t, \cos t)&t\ge 0
     \end{cases}$
     Rang$\varphi'(t) = 1 \forall t$

     Bedingung ii) f"ur lokale Parametrisierung ist nicht erf"ullt.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{proof}
  \begin{itemize}
  \item \ref{satzunterman1}.) $\Longrightarrow$ \ref{satzunterman2}.) $V$ enth"alt
    ein $V_1\times V_2$ ($0\in V_1, V_2$) mit $V_1, V_2$ offen in $\R^k$ bzw.~
    $\R^{n-k}$.
    \begin{eqnarray*}
        U(x) & \stackrel{h}{\widetilde\longrightarrow} & V\\
        \text{offen} \cup & x\mapsto 0  & \cup \text{offen}\\
        U & \widetilde\longrightarrow & V_1 \times V_2\\
        \cup & &\cup\\
        M\cap U&\longrightarrow&h(M\cap U)=V_1\times \{0\}
    \end{eqnarray*}
    \begin{eqnarray*}
      g:V_1&\to&V_2\\
      v_1&\mapsto&0
    \end{eqnarray*}

  \item \ref{satzunterman2}.) $\Longrightarrow$ \ref{satzunterman3}.)
   \begin{eqnarray*}
        U(x) & \widetilde\longrightarrow & V_1 \times V_2\stackrel{k}{\longrightarrow}\R^{n-k}\\
        \cup &   & \cup\\
        M\cap U & \longrightarrow & \Gamma(g)
    \end{eqnarray*}
    $k(y_1, \ldots, y_k, y_{k+1}, \ldots, y_n)=(y_{k+1}-g_{k+1}y, \ldots,
    y_n-g_ny)$
    \begin{eqnarray*}
      g:\R^n\supset V_1&\to&V_2\subset\R^{n-k}\\
      (y_1, \ldots, y_k)&\mapsto&(g_{k+1}y, \ldots, g_ny)
    \end{eqnarray*}
    $k$ ist $C^p$-Abbildung
    $k'(y_1, \ldots, y_n)=\left[
      \begin{array}{ccccc}
        \cdots&1&0&\cdots&0\\
              & &1\\
         * &&&\ddots\\
         &&&&1
      \end{array}\right]$ Rang $k'=n-k$
    $f=k \circ h, f'(u)=k'(h(u))\cdot h'(u)$ Rang $f'(u)=n-k$\\
    $f^{-1}(0)=(k\circ h)^{-1}(0)=h^{-1}(\underbrace{k^{-1}(0)}_{=\Gamma(g)})=M\cap U$
 
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 








