\begin{satz}[Satz von Riesz-Fischer] 
Sei $X$ ein $\sigma$ -endlicher Ma\ss raum,
$1\leq p\leq\infty$

\begin{enumerate}
\item Jede L$^{p}$-Cauchyfolge in $\mathcal{L}^{p}$ enth\"{a}lt eine f.\"{u}.
  gegen eine Funktion $f$ konvergente Teilfolge. Es ist $f\in\mathcal{L}^{p}$
  und $\left\Vert f_{n}-f\right\Vert _{p}\rightarrow
0$, d.h. $f_{n}\rightarrow f$ in der $\left\Vert {}\right\Vert _{p}%
-Norm$.

$\mathcal{L}^{p}$ ist also ein Banachraum.
\item (dom.~Konvergenz) Sei $\left( f_{n}\right) $ Folge in $\mathcal{L}^{p}$ mit
$f_{n}\rightarrow f$ f.\"{u}.. Ferner sei $\left\vert f_{n}\right\vert \leq
g\forall n\in\mathbb{N}$ und f\"{u}r ein $g\in\mathcal{L}^{p}$. Dann gilt
$f\in\mathcal{L}^{p}$ und $\left\Vert f_{n}-f\right\Vert _{p}\rightarrow
0$
\item Die Treppenfunktionen liegen dicht bezgl. der $\left\Vert
  {}\right\Vert _{p}-Norm$ in $\mathcal{L}^{p}$.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
1) Sei $X=\cup_{i\in\mathbb{N}}x_{i},x_{i}\subseteq x_{i+1}%
,\mu\left(  x_{i}\right)  <\infty.\,$Sei $\chi_{i}=\chi_{x_{i}}$ Dann ist
jedes $\chi_{i}\in\mathcal{L}^{q}$ , denn:$\int_{X}\left\vert \chi
_{i}\right\vert ^{q}=\int\chi_{i}$ existiert.\newline
$\left\Vert f\right\Vert
_{p}=\left(  \int_{X}\left\vert f\right\vert ^{p}\right)  ^{\frac{1}{q}}%
;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1;$ Sei $i$ fest gew\"{a}hlt.\newline 
Nach H\"{o}lder
liegt $f_{n}\chi_{i}\forall n$ in $\mathcal{L}^{1}$ und es gilt\newline
$\int_{X}\left\vert f_{n}\chi_{i}-f_{m}\chi_{i}\right\vert =\int_{X}\left\vert
f_{n}-f_{m}\right\vert \chi_{i}=\left\Vert f_{n}\chi_{i}-f_{m}\chi
_{i}\right\Vert _{1}=\left\Vert \left(  f_{n}-f_{m}\right)  \chi
_{i}\right\Vert _{1}\leq\left\Vert f_{n}-f_{m}\right\Vert _{p}\centerdot
\left\Vert \chi_{i}\right\Vert _{q}$\newline 
H\"{o}lder: $\left\Vert
fg\right\Vert _{1}\leq\left\Vert f\right\Vert _{p}\cdot\left\Vert f\right\Vert
_{q}$\newline 
Also ist $\left(  f_{n}\chi_{i}\right)  $ eine $\mathcal{L}%
^{1}-C.F.$ Nach Normkonvergenzsatz enth\"{a}lt diese Folge eine f.\"{u}. gegen
ein $f_{i}$ konvergente Teilfolge. Au\ss erhalb einer Nullmenge konvergiert
also $f_{n}\chi_{i}$ punktweise.\newline
$i=1:$ W\"{a}hle Teilfolge $f_{n_{k}%
}\chi_{1}\rightarrow f_{1}$ au\ss erhalb $\ Z_{1}\,\ n_{1}=1.$\newline
$i=2:$
W\"{a}hle Teilfolge $f_{n_{k2}}\chi_{2}\rightarrow f_{2}$ au\ss erhalb
$Z_{2}\,\ n_{k2}=1.$\newline 
Behalte jeweils die ersten i bereits
gew\"{a}hlten Folgenindices bei. Man konstruiert so eine Teilfolge $f_{n_{k}}%
$, sodass au\ss erhalb $Z=\cup Z_{i}=$Nullmenge \ \ die Folge punktweise gegen
eine Funktion $f$ konvergiert. F\"{u}r $n$ fest konvergiert nun $\left\vert
f_{n}-f_{m}\right\vert ^{p}\underset{m\rightarrow\infty}{\rightarrow
}\left\vert f_{n}-f\right\vert ^{p}$ f.\"{u}.\newline 
Nach Lemma von Fatou ist
$\left\vert f_{n}-f\right\vert ^{p}\in\mathcal{L}^{1}$, d.h. $f_{n}%
-f\in\mathcal{L}^{p}$, also $f\in\mathcal{L}^{p}$, da $\mathcal{L}^{p}$ ein
Unterraum.\newline
\underline{Fatou:} Sei $\varepsilon>0$ gegeben. W\"{a}hle
$n_{0}$ mit $\left\Vert f_{n}-f_{m}\right\Vert _{p}<\varepsilon\,\ \ \forall
\,n,m\geq n_{0}.$ Dann ist $\int\left\vert f_{n}-f\right\vert ^{p}%
\leq\varepsilon\,\ \ \forall n\geq n_{0}$ nach Fatou. Also $\left\Vert
f_{n}-f\right\Vert _{p}\leq\varepsilon^{\frac{1}{p}}\Longrightarrow\left\Vert
f_{n}-f\right\Vert _{p}\rightarrow0.$\newline 
2) Setze $0\leq h_{k}%
=\underset{n,m\geq k}{\sup}\left\vert f_{n}-f_{m}\right\vert
=messbar,\,\ h_{k}\geq h_{k+1}$\newline
$\underset{messbar}{\underbrace
{h_{k}^{p}}}=\underset{n,m\geq k}{\sup}\left\vert f_{n}-f_{m}\right\vert
^{p}\leq\sup\left(  2\left\vert f_{n}\right\vert \right)  ^{p}\leq
2^{p}\underset{intbar}{\underbrace{g^{p}}}$\newline 
Nach Standardkriterium ist
$h_{k}^{p}$ intbar. Nach absteigendem B.Levi ist $\inf h_{k}^{p}$ intbar und
$\int h_{k}^{p}\rightarrow\int\inf h_{k}^{p}$ und $h_{k}^{p}\underset
{\text{f.\"{u}.}}{\rightarrow}g=intbar\underset{\text{f.\"{u}.}}{=}\inf
h_{k}^{p}=0.$\newline 
Also $\int h_{k}^{p}\rightarrow0.$Also $\left\Vert
f_{n}-f_{m}\right\Vert _{p}\leq\varepsilon\,\ \forall n,m\geq n_{0}.$\newline
Nach Teil 1) folgt der Rest.\newline 
3) Betrachte $f_{i}=f\chi_{i}$ f\"{u}r
ein gegebenes $f\in\mathcal{L}^{p}.\chi_{i}=\chi_{x_{i}},X=\cup_{i\in
\mathbb{N}}x_{i}$\newline
$f_{i}\in\mathcal{L}^{p}$, da $\int\left\vert
f\chi_{i}\right\vert ^{p}\leq\int\left\vert f\right\vert ^{p}.f_{i}\rightarrow
f$ punktweise.
\newline$\left\vert f_{i}\right\vert \leq\left\vert f\right\vert
,\,\left\vert f\right\vert \in\mathcal{L}^{p}\overset{2)}{\Longrightarrow
}f\chi_{i}\rightarrow f$ in der $\left\Vert {}\right\Vert _{p}%
-Norm.\,\left\Vert f\chi_{i}-f\right\Vert _{p}\rightarrow0$\newline 
OBdA
(Ersetze $f$ durch $f_{\chi_{i}}$) kann man $\mu\left(  X\right)  <\infty$
annehmen.\newline 
Also: Treppenfunktionen = Stufenfunktionen\newline 
Da $f$
messbar ist, $\exists$ Folge $\varphi_{n}$ von Stufenfunktionen mit
$\varphi_{n}\rightarrow f$ punktweise. Setze $\psi_{n}\left(  x\right)
=\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
\varphi_{n}\left(  x\right)  \left\vert \varphi_{n}\left(  x\right)
\right\vert \leq2\left\vert f\left(  x\right)  \right\vert \\
0\text{ sonst}%
\end{array}
\right.  $ Dann ist $\left\vert \psi_{n}\right\vert \leq2\left\vert
f\right\vert $ und alle $\psi_{n}$ sind Stufenfunktionen. Nach 2) $\left\Vert
\psi_{n}-f\right\Vert _{p}\rightarrow0$
\end{proof}

\paragraph{Bemerkungen}

$X=\mathbb{R}^{n}$ Dann liegt $C_{c}^{\infty}=\{f:\mathbb{R}%
^{n}\rightarrow\mathbb{R\,}$%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert} }%
%BeginExpansion
$\vert$
%EndExpansion
$f$ ist bel. oft stetig diffbar nach allen Variablen. $T\left(  f\right)
$=Tr\"{a}ger von $f=\left\{  x|f\left(  x\right)  \neq0\right\}  =$kompakt$\}$
dicht in$\left\Vert {}\right\Vert _{p}-Norm$ in jedem $\mathcal{L}^{p}$, denn:
Sei $f\in\mathcal{L}^{p},$ dann ist $f$ approximierbar durch eine
Treppenfunktion $\psi=\underset{\in\mathbb{R},\,A_{i}\,messbar,\,\lambda
\left(  A_{i}\right)  <\infty}{\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\chi_{A_{i}}}.$ Es
reicht, jedes $\chi_{A_{i}}$ durch ein $f_{i}\in C_{c}^{\infty}$ zu
approximieren. Sei also $A$ messbar gegeben. Sei $\varepsilon>0\,$\ gegeben,
dann $\exists\,A_{i}=$Quader in $\mathbb{R}^{n}=\left\{  a_{1},b_{1}\right\}
\times\left\{  a_{2},b_{2}\right\}  \times...\times\left\{  a_{n}%
,b_{n}\right\}  \,\ A\subset\overset{\centerdot}{\cup}_{i=1}^{s}A_{i}$ und
$\sum\lambda\left(  A_{i}\right)  \leq\lambda\left(  A\right)  +\varepsilon.$
d.h. $\int\left\vert \chi_{A}-\chi_{\overset{\centerdot}{\cup}A_{i}%
}\right\vert =\underset{\overset{\centerdot}{\cup}A_{i}=A\overset{\centerdot
}{\cup}\left(  \overset{\centerdot}{\cup}A_{i}\backslash A\right)
}{\underbrace{\lambda\left(  \overset{\centerdot}{\cup}A_{i}\backslash
A\right)  }}\leq\varepsilon.$ Es reicht $\chi_{\overset{\centerdot}{\cup}%
A_{i}}=\sum\chi_{A_{i}}$ zu approximieren, also reicht es, jedes $\chi_{A_{i}%
}$ zu approximieren.

$A=\left\{  a_{1},b_{1}\right\}  \times...\times\left\{  a_{n},b_{n}\right\}
,\qquad n=1:$\newline F\"{u}r $a<b\qquad h\left(  t\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
e^{-\frac{1}{\left(  t-a\right)  \left(  b-t\right)  }}\qquad a<t<b\\
0\text{ sonst}%
\end{array}
\right.  $\newline\qquad\qquad\qquad\ \ \ $g\left(  t\right)  =\int_{-\infty
}^{x}h\left(  t\right)  dt$

\begin{defi} 
  \begin{enumerate}
  \item Sei $h=\R$ oder $\C$. Ein Hilbertraum $H$ ist ein
    $h-V.R.$ zusammen mit einem Skalarprodukt $\left( \,\ \ ,\,\ \ \right)
    :H\times H\rightarrow h\,\ \ \left( x,y\right) \longmapsto\left(
      x,y\right) =x\cdot y=\left\langle x,y\right\rangle =\left[ x,y\right] $,
    sodass $H$ bzgl. der Norm $\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\left(
        x,x\right)
}$ vollst\"{a}ndig ist.
\item Ist $\left(  e_{i}\right)  _{i\in I}%
\,\ $eine durch eine beliebige Indexmenge $I$ ind. Familie orthonormaler
Vektoren (d.h. $\left( e_{i},e_{j}\right) =\delta_{ij}\,\ \forall i,j\in I$)
und $x\in H$ ein beliebiger Vektor, so hei\ss t $\left( x,e_{i}\right) $ der
Fourierkoeffizient von $x$ bzgl. $e_{i}.$ Die Familie $\left( e_{i}\right)
_{i\in I}$ hei\ss t vollst\"{a}ndig, falls aus $\left( x,e_{i}\right) =0$
$\forall i\in I$ folgt, dass $x=0.$
\end{enumerate}
\end{defi}

\paragraph{Bemerkungen und Beispiele}
\begin{itemize}
\item $\left(  x+\lambda x^{\prime},y+\mu y^{\prime}\right)  =\left(  x,y\right)
+\lambda\left(  x^{\prime},y\right)  +\bar{\mu}\left(  x,y^{\prime}\right)
+\lambda\,\bar{\mu}\left(  x^{\prime},y^{\prime}\right)  \,\ \forall
x,x^{\prime},y,y^{\prime}\in H,\forall\lambda,\mu\in h$

$\forall x:\left(  x,x\right)  \in\mathbb{R},\,\,\left(  x,x\right)
\geq0,\,\ \left(  x,x\right)  =0\Leftrightarrow x=0$
\item Cauchy-Schwartz'sche Ungleichung:\newline$\left\vert \left(  x,y\right)
\right\vert \leq\left\Vert x\right\Vert \centerdot\left\Vert y\right\Vert
\,\ \forall x,y$\newline$\left\vert \left(  x,y\right)  \right\vert
=\left\Vert x\right\Vert \centerdot\left\Vert y\right\Vert \Leftrightarrow
x,y$ sind linear abh\"{a}ngig.
\item $\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\left(  x,x\right)  }$ ist dann eine Norm,
wenn gilt: $\left\Vert x\right\Vert \geq0,\,\ \left\Vert x\right\Vert
=0\Leftrightarrow x=0$
\item $X=\sigma-$endlicher Ma\ss raum, $H=L^{2}\left(  x\right)  =\,$Hilbertraum
$=L^{2}\left(  X,\mathbb{R}\right)  $ mit Skalarprodukt $\left(  f,g\right)
=\int_{X}f\cdot g,\,\ \ f\cdot g\,$messbar, $\left\vert f\cdot g\right\vert
\leq\left\vert f\cdot g\right\vert $ intbar, da $\frac{1}{2}+\frac{1}%
{2}=1\,\ \ \left\Vert f\cdot g\right\Vert _{1}=\int\left\vert f\cdot
g\right\vert \leq\left\Vert f\right\Vert _{2}\cdot\left\Vert g\right\Vert
_{2}$\newline$\left(  f,f\right)  =\int f^{2}=0\Rightarrow f=0$ in $L^{2}%
.$\newline Speziell: $X=[-\pi,+\pi)$ mit Lebesgue-Ma\ss .\newline%
$\mathcal{L}^{2}\left(  [-\pi,+\pi)\right)  =\left\{
\text{quadratintegrierbare Funktionen}\right\}  ...$\newline$\Rightarrow
f\left(  t\right)  =\sum_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\cos\left(  nt\right)
+\sum_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\sin\left(  nt\right)  $\\
\end{itemize} 

Sei $H=Hilbertraum\,\ \ V.R.$ \"{u}ber $\mathbb{R}$/$\mathbb{C}$ mit $\left(
..,..\right)  =Skalarprodukt,\,\ x\perp y\Leftrightarrow\left(  x,y\right)
=0,$\newline$\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\left(  x,x\right)  }$
vollst\"{a}ndig bzgl. $d\left(  x,y\right)  =\left\Vert x-y\right\Vert $ (Jede
Cauchyfolge konvergiert in $H$ ), $\left(  e_{i}\right)  _{i\in I}$
orthonormale Familie, vollst\"{a}ndig:$\Leftrightarrow\left(  \left(
x,e_{i}\right)  =0\,\forall i\Rightarrow x=0\right)  .$

\paragraph{Beispiele}
\begin{itemize}
\item $H=\mathbb{R}^{n}$ oder $\mathbb{C}^{n}$ mit $\left(  x,y\right)
:=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bar{y}_{i}.\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\sum\left\vert
x_{i}\right\vert ^{2}}.$ Die Standardbasis $e_{i}=\left[
\begin{array}
[c]{c}%
0\\
\vdots\\
1\left(  i\text{-te Stelle}\right)  \\
0\\
\vdots\\
0
\end{array}
\right]  $ ist dann vollst\"{a}ndiges Orthonormalsystem (ONS).

\item $X=\sigma$-endlicher Ma\ss raum. $$H=L^{2}\left(  X,\mathbb{R}\right)
"`="'\left\{  f\,|\,f:X\rightarrow\mathbb{R},f\text{ messbar, }\int
_{X}\left\vert f\right\vert ^{2}\text{ existiert}\right\}  $$
$\left(f,g\right)  =\int f\cdot g$ (weil $f\in\LL^2,g\in\LL^2, \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\Rightarrow f\cdot g\in\LL^1$)


 $\tilde{f}\sim f:\tilde{f}-f=0$ f.\"{u}. $\tilde{g}\sim g...\Rightarrow
\tilde{f}\cdot\tilde{g}\sim f\cdot g\Rightarrow\int\tilde{f}\cdot\tilde
{g}=\int f\cdot g$

$\left(  f,g\right)  =\int_{X}f\cdot g$ ist wohldefiniert. ($L^{2}\left(
X,\mathbb{R}\right)  =\mathcal{L}^{2}/\left\{  f\,|\,f=0\text{ f.\"{u}.}%
\right\}  $)

$L^{2}$ ist ein Hilbertraum! (Spezialfall von S.v.Riesz-Fischer).

\item $I=$beliebige Menge versehen mit Z\"{a}hlma\ss \ $\lambda\left(  M\right)
=\begin{cases}
\sharp & \text{Anz.d.Elemente}\\
\infty & M\text{ unendlich}%
\end{cases}$

$I$ \"{u}berabz\"{a}hlbar $\Rightarrow I$ nicht $\sigma-$endlich!

$L^{2}\left(  I,\mathbb{R}\right)  $ hat dann ein Skalarprodukt. $f\in
L^{2}\left(  I,\mathbb{R}\right)  \Leftrightarrow\exists\int_{I}\left\vert
f\right\vert ^{2}<\infty$\newline(d.h. $f\left(  i\right)  \neq0$ nur f\"{u}r
eine abz\"{a}hlbare Teilmenge $J\subseteq I$ und $\sum_{i\in J}\left\vert
f\left(  j\right)  \right\vert ^{2}<\infty$ im \"{u}blichen Sinn. $\left(
f,g\right)  =\sum_{i\in I}f\left(  i\right)  g\left(  i\right)  $%
\newline$L^{2}\left(  I\right)  $ ist vollst\"{a}ndig, obwohl$\ I$ nicht
$\sigma$-endlich, denn:\newline Sei $f_{n}\,\ C.F.$ in $L^{2}.$ Sei
$f_{n}\left(  x\right)  \neq0$ nur f\"{u}r $x\in J_{n}$=abz\"{a}hlbare
Teilmenge von $I.$\newline Setze $J\underset{=\sigma-\text{endlich bzgl.
Z\"{a}hlma\ss }}{=\cup_{n\in\mathbb{N}}J_{n}\text{\thinspace\ = abz\"{a}hlbar}%
}$, $f_{n}\in L^{2}\left(  J\right)  \,$= vollst\"{a}ndig.\newline$\forall
i\in I:e_{i}\,\ \ e_{i}\left(  j\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
0\,\ j\neq i\\
1\,\ j=i
\end{array}
\right.  $ \ \ $\left(  e_{i}\right)  _{i\in I}$ ist vollst\"{a}ndiges
ONS.\newline$\left(  f,e_{i}\right)  =\sum_{j\in I}f\left(  j\right)
e_{i}\left(  j\right)  =f\left(  i\right)  $\newline$f\left(  j\right)
=\sum_{j\in I}\left(  f,e_{i}\right)  e_{i}$\newline$L^{2}\left(  I\right)
\underset{\text{als H.R.}}{\widetilde{\longrightarrow}}L^{2}\left(  J\right)
\qquad\qquad\exists\varphi:\underset{\underset{\left[  \varphi x,\varphi
y\right]  }{\left(  ..,..\right)  }}{L^{2}\left(  I\right)  }\rightarrow
\underset{\underset{\left(  x,y\right)  \,\forall x,y}{\left[  ..,..\right]
}}{L^{2}\left(  J\right)  }$ bijektiv, linear, Skalarprod. erhaltend\newline%
$\Leftrightarrow\left\vert I\right\vert =\left\vert J\right\vert $
\end{itemize} 

\begin{defi}
Ein vollst\"{a}ndiges ONS in einem Hilbertraum hei\ss t Hilbert-Basis.
\begin{enumerate}
\item Jeder Hilbertraum besitzt eine Hilbert-Basis.
\item je zwei
  Hilbertbasen haben gleiche Kardinalit\"{a}t.
\item Ein Hilbertraum
  $H$ mit Hilbertbasis $I$ ist isomorph zu $L^{2}\left( I\right) .$
\end{enumerate}
\end{defi}

\begin{satz}
Sei $H$ Hilbertraum, $\left(  e_{i}\right)  _{i\in I}$ eine Familie von
orthonormalen Vektoren. Setze $L=\left\langle e_{i}\,|\,i\in I\right\rangle
=$\thinspace Abschluss (bzgl. $\left\Vert {}\right\Vert $) des von den $e_{i}$
erzeugten Unterraumes.
\begin{enumerate}
\item F\"{u}r jedes $x\in H$ sind h\"{o}chstens abz\"{a}hlbar viele
  $\left( x,e_{i}\right) \neq0$ und es gilt die sogenannte  \em{\textsc{Bessel}sche
    Ungleichung}:
$$\sum_{i\in I}\left\vert \left( x,e_{i}\right)
  \right\vert ^{2}\leq\left( x,x\right) =\left\Vert x\right\Vert
  ^{2}.$$
F\"{u}r jede Aufz\"{a}hlung der $e_{i}$ mit
$\left(  x,e_{i}\right)  \neq0$ konvergiert die Folge $S_{N}=\sum_{i=1}%
^{N}\left( x,e_{i}\right) e_{i}$ gegen ein $x_{0}\in L.$ (Man schreibt
$x_{0}=\sum_{i\in I}\left( x,e_{i}\right) e_{i}$ ). Dieser Grenzwert ist
unabh\"{a}ngig von der gew\"{a}hlten Aufz\"{a}hlung. Es ist $x-x_{0}\in
L^{\perp}:\left\{ y\in H\,|\,\left( x,y\right) =0\text{\thinspace}\forall x\in
  L\right\} .$ Es ist $H=L\oplus L^{\perp}.$
\item Folgende Bedingungen
an die Familie $\left( e_{i}\right) _{i\in I}$ sind \"{a}quivalent:

\begin{enumerate}
\item $\left( e_{i}\right) $ ist vollst\"{a}ndig (d.h.  $\left( e_{i}\right) $ ist
  Hilbert-Basis)
\item $L=H$
\item F\"{u}r alle $x\in X$ wird aus
  der Bessel'schen Ungleichung die \textsc{Parseval}sche
  Gleichung:
$$\sum\left\vert \left( x,e_{i}\right) \right\vert
  ^{2}=\left( x,x\right)$$
\item  F\"{u}r jedes $x\in H$ gilt:
  $x=\sum_{i\in I}\left( x,e_{i}\right) e_{i}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{satz}


\begin{proof}
1) Sei $J\subseteq I$ endlich.\newline$0\leq\left(  x-\sum_{i\in J}\left(
x,e_{j}\right)  e_{j},x-\sum\left(  x,e_{j}\right)  e_{j}\right)  $%
\newline$=\left(  x,x\right)  -\left(  x,\sum_{j}\left(  x,e_{j}\right)
e_{j}\right)  -\left(  \sum_{j}\left(  x,e_{j}\right)  e_{j},x\right)
+\left(  \sum_{j}\left(  x,e_{j}\right)  e_{j},\sum_{j^{\prime}}\left(
x,e_{j^{\prime}}\right)  e_{j^{\prime}}\right)  $\newline$=\left(  x,x\right)
-\sum\left\vert \left(  x,e_{j}\right)  \right\vert ^{2}-\sum\left\vert
\left(  x,e_{j}\right)  \right\vert ^{2}+\sum_{j,j^{\prime}}\left(
x,e_{j}\right)  \overline{\left(  x,e_{j^{\prime}}\right)  }\underset
{\delta_{jj^{\prime}}}{\underbrace{\left(  e_{j},e_{j^{\prime}}\right)  }%
\,}=\left(  x,x\right)  -\sum\left\vert \left(  x,e_{j}\right)  \right\vert
^{2}$\newline d.h. \fbox{$\sum_{j\in J}\left\vert \left(  x,e_{j}\right)
\right\vert ^{2}\leq\left(  x,x\right)  $}$\left(  \ast\right)  $\newline
Setze $I_{n}=\left\{  i\in I\,|\,\left\vert \left(  x,e_{i}\right)
\right\vert ^{2}\geq\frac{1}{n}\right\}  .\,\ I_{n}$ ist endlich $\left(
n\in\mathbb{N}\right)  .$\newline Es gilt $\left\vert I_{n}\right\vert \leq
n\cdot\left(  x,x\right)  \,$\ wegen$\left(  \ast\right)  .$\newline$J=\cup
I_{n}=\left\{  i\in I\,|\,\left(  x,e_{i}\right)  \neq0\right\}  =$
abz\"{a}hlbar.\newline Sei $J$ abz\"{a}hlbar, d.h. $J=\mathbb{N\,\ \forall
}N\mathbb{\in N\,}$: $\sum_{i\in\mathbb{N}}\left\vert \left(  x,e_{i}\right)
\right\vert ^{2}\leq\left(  x,x\right)  \Rightarrow\underset{\text{muss also
Nullfolge sein}}{\sum_{i\in J=\mathbb{N}}\left\vert \left(  x,\underbrace
{e_{i}}\right)  \right\vert ^{2}}\leq\left(  x,x\right)  $\newline$S_{N}%
=\sum_{i\subseteq\mathbb{N}}\left(  x,e_{i}\right)  e_{i}\,$\ ist C.F., denn:
$N>M,\,\left\Vert S_{N}-S_{M}\right\Vert ^{2}=\left\Vert \sum_{i=M+1}%
^{N}\left(  x,e_{i}\right)  e_{i}\right\Vert ^{2}$\newline$=\left(  \sum
_{M+1}^{N}\left(  x,e_{i}\right)  e_{i},\sum_{M+1}^{N}\left(  x,e_{i}\right)
e_{i}\right)  =\sum_{M+1}^{N}\left\vert \left(  x,e_{i}\right)  \right\vert
^{2}$ Also $\exists x_{0}:=\underset{N\rightarrow\infty}{\lim}S_{N}%
\,\ S_{N}\in\left\langle e_{i}\,|\,i\in I\right\rangle $ Also $x_{0}\in
L$\newline$x-x_{0}\perp L\Leftrightarrow\left(  x-x_{0},e_{i}\right)
=0\,\ \ \forall i\in L,$ denn: $\left(  x-x_{0},e_{i}\right)  =0\,\ \forall
i\Rightarrow\left(  x-x_{0},y\right)  =0\,\ \forall y\in\left\langle
e_{i}\,|\,i\in I\right\rangle .$\newline Sei $y\in L\Rightarrow\exists
y_{n}\rightarrow y,\,\ y_{n}\in\left\langle e_{i}\,|\,i\in I\right\rangle
\Rightarrow\left(  x-x_{0},y_{n}\right)  =0\rightarrow\left(  x-x_{0}%
,y\right)  =0$\newline$\left(  x-x_{0},e_{i}\right)  =\left(  x,e_{i}\right)
-\left(  x_{0},e_{i}\right)  =\left(  x,e_{i}\right)  -\left(  \underset
{N\rightarrow\infty}{\lim}S_{N},e_{i}\right)  =\left(  x,e_{i}\right)
-\underset{N\rightarrow\infty}{\lim}\left(  S_{N},e_{i}\right)  $%
\newline$S_{N}=\underset{j\in J=\mathbb{N}}{\sum_{j\mathbb{\leq}N}}\left(
x,e_{j}\right)  e_{j}\rightarrow\left(  S_{N},e_{i}\right)  =\sum_{j=N}\left(
x,e_{j}\right)  \left(  e_{j},e_{i}\right)  =\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
0\,\ \ i\notin J\\
\left(  x,e_{i}\right)  i\in J\,\ \forall N\geq N_{0}=i
\end{array}
\right.  $\newline$\Rightarrow\left(  x,e_{i}\right)  -\underset
{N\rightarrow\infty}{\lim}\left(  S_{N},e_{i}\right)  =0$\newline$%
\begin{array}
[c]{ccc}%
H= & L\oplus & L^{\perp}\\
x= & x_{0}+ & \left(  x-x_{0}\right)
\end{array}
=L\perp L^{\perp}\,\ \ L\cap L^{\perp}=0$\newline Sei $y\in L$
beliebig.\newline$\left\Vert x-y\right\Vert ^{2}=\left(  x-y,x-y\right)
$\newline$=\left(  x_{0}+x-x_{0}-y,x_{0}+x-x_{0}-y\right)  =\left(
\underset{\in L}{\left(  x_{0}-y\right)  }+\underset{\in L^{\perp}}{\left(
x-x_{0}\right)  },\left(  x_{0}-y\right)  +\left(  x-x_{0}\right)  \right)
$\newline$=\left(  x_{0}-y,x_{0}-y\right)  +\left(  \left(  x-x_{0}\right)
,\left(  x-x_{0}\right)  \right)  =\left\Vert x_{0}-y\right\Vert
^{2}+\left\Vert x-x_{0}\right\Vert ^{2}$\newline$\Rightarrow y=x_{0}$ ist das
Element kleinsten Abstandes, eindeutig bestimmt, also ist auch der Grenzwert
$x_{0}$ unabh\"{a}ngig von der Aufz\"{a}hlung.\newline 2) i)$\Rightarrow$ii)
\ \ $L^{\perp}=0,\,\ H=L\oplus L^{\perp}\Rightarrow L=H$\newline
ii)$\Rightarrow$iii) $\forall\,\ x\in H$ gilt: $x=x_{0}=\sum_{i\in I}\left(
x,e_{i}\right)  e_{i}\underset{\underset{\left(  x_{n}\rightarrow
x,y_{m}\rightarrow y\Rightarrow\left(  x_{n},y_{m}\right)  \rightarrow\left(
x,y\right)  \right)  }{\uparrow\text{ Stetigkeit des Skalarprodukts}}%
}{\Rightarrow\left(  x,x\right)  =\sum\left\vert \left(  x,e_{i}\right)
\right\vert ^{2}}$\newline iii)$\Rightarrow$iv) $\left(  x,x\right)
=\sum\left\vert \left(  x,e_{i}\right)  \right\vert ^{2}=\left(  x_{0}%
,x_{0}\right)  \,\ \ \left\Vert x\right\Vert =\left\Vert x_{0}\right\Vert
,\,\ x=x_{0}+x-x_{0},\,\ \left\Vert x\right\Vert ^{2}=\left\Vert
x_{0}\right\Vert ^{2}+\left\Vert x-x_{0}\right\Vert ^{2}$\newline$\Rightarrow
x=\sum\left(  x,e_{i}\right)  e_{i}$\newline iv)$\Rightarrow$i) $\left(
x,e_{i}\right)  =0\,\ \forall i\Rightarrow x=0\left(  =\sum\left(
x,e_{i}\right)  e_{i}=\sum0e_{i}\right)  $
\end{proof}

%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: "hoema3"
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 






