$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{2}$
$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}=\lim_{N \rightarrow \infty} \int_0^N
\frac{\sin x}{x}dx=\lim_{N \rightarrow \infty} \int_{[0,N]} \frac{\sin
  x}{x}=\lim_{N \rightarrow \infty} \int_{(0,N]} \frac{\sin x}{x}$$
$$\int_0^\infty e^{-xt}dt=\lim_{M \rightarrow \infty} \int_0^M e^{-xt}
dt \overset{\forall x>0}{=}\lim_{M \rightarrow \infty} [\frac{-e^{-xt}}{x}]_0^M=\frac{1}{x}$$
$$\int_{(0,N]} \frac{\sin x}{x}=\int_{(0,N]} \sin
  x (\int_{[0,\infty)}e^{-xt}dt)dx=\footnote{Dafür muss die
  Existenz des Integrals gezeigt
  werden} \int_{(0,N]\times[0,\infty)}\sin x e^{-xt}$$
$$=\int_{(0,1] \times [0,\infty)}\underbrace{\sin x
  e^{-xt}}_{\text{Immer } \ge 0} + \int_{(1,N] \times [0,\infty)} \sin x e^{-xt}$$
\begin{enumerate}
\item $$\overline{\int}_{(0,1]} \sin x(\overline{\int}_{[0,\infty)}e^{-xt}dt)dx=\overline{\int}_{(0,1]} \frac{\sin x}{x}$$ existiert und ist endlich $\Rightarrow \overline{\int}=\int$.
\item 
$$\int_{(1,N] \times [0,\infty)} \sin x e^{-xt} $$ existiert, da $ | \sin x e^{-xt} | \le e^{-t} \forall (x,t)\in (1,N] \times [0,\infty)$
$$\overline{\int} | \sin x e^{-xt}|\le \overline{\int} e^{-t}$$
$$=\overline{\int}_{(1,N]} (\overline{\int}_{[0,\infty )} e^{-t} dt)dx \le (N-1)[-e^{-t}]_0^{\infty} =N-1$$
$$ \int_{ (0,N] \times [0,\infty )} \sin x e^{-xt} = \int_{ [0,\infty)} (\int_{(0,N] } \sin x e^{-xt} dx)dt$$
$$ = \int_{ [0,\infty)} [ \frac{ e^{-xt} }{t^2+1} (-t\sin x - \cos x) ]_0^N dt $$
$$ \int_{ [0,\infty)} \underbrace{ \frac{ e^{-Nt} }{t^2+1} (-t\sin N - \cos N)}_{\overset{N \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0} dt + \underbrace{\int_{ [0,\infty)}  \frac{1}{t^2+1} dt}_{= [\arctan t]_0^\infty =\frac{\pi}{2}} $$
$$| \frac{ e^{-Nt} }{t^2+1} (-t\sin N - \cos N)| \le \frac{t+1}{t^2+1} e^{-Nt} \le 2e^{-Nt} \Rightarrow \int \rightarrow 0$$

\end {enumerate}

\section{Die $L^p$-Räume}

\begin{defi}
Sei $(X,\M,\mu)$ ein Maßraum, $p \ge 1$ eine reele Zahl. Dann ist $\LL^p=\LL^p(X)$, definiert als $\LL^p=\{f|f:X\rightarrow\R,\;f\; messbar,\; |f|^p \; integrierbar\}$. Für $f \in \LL^p$ definiert man die sogenannte $L^p$-(Halb)norm $\| f \|_p$ als:
$$\| f \|_p=(\int_X |f|^p)^{\frac{1}{p}} $$
\end{defi}

\begin{lem}
Sei $a,b\in \R, \; a,b \ge 0, \; p,q\in \R, \;
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, \; p,q \ge 0$.
Dann gilt $$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$
\end{lem}

\begin{proof}
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \Leftrightarrow p+q=pq \Leftrightarrow
(p-1)(q-1)=1 \Leftrightarrow p(q-1)=q \Leftrightarrow q(p-1)=p$\\
Sei $a \ge 0$ fest. Betrachte $f(b)= \frac{b^q}{q}+ \frac{a^p}{p} - ab, \;
f(b)\ge 0\; \forall b \ge 0$.\\
$f'(b)=b^{q-1}-a$, d.h. für $b_0$ mit $b_0^{q-1}=a$ liegt die einzige
Nullstelle vor. $f''$ ist dann positiv $ \Rightarrow \; f$ hat an
dieser Stelle ein lokales Minimum. Das Mimimum ist sogar global!
$ b_0^{q-1} = a \; \Rightarrow \; b_0^q = b_0^{(q-1)p}=a^p $ und
$b_0^{(q-1)(p-1)}=a^{(p-1)}=b_0$
$$f(b_0)=\frac{b_0^q}{q}-\frac{b_0^q}{p}-ab_0=(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})b_0^q-b_0^q=0$$
\end{proof}

\begin{satz}
Seien $p,q>1$ und $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Dann gilt
\begin{enumerate}
\item Für $f \in \LL^p, \; g \in \LL^q$ liegt $ f \cdot g$ in $\LL^1$ und
  es gilt die sogenannte Höldersche Ungleichung:
$$\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q$$
\item Für $f \in \LL^p $ und $g \in \LL^p$ liegt auch $f+g$ in $\LL^p$
  und es gilt die sogenannte Minkowskische Ungleichung:
$$ \|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$$
\end{enumerate}
\end{satz}

\paragraph{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\item Die Mengen $\LL^p$ sind die Unterräume vom Vektorraum aller
  Funktionen $X \rightarrow \R$. Ferner ist nach der
  Minkowski-Ungleichung $\| \; \|_p$ eine Halbnorm.
$$\|\lambda f\|_p=(\int |\lambda f|^p)^{\frac{1}{p}}=(\int |\lambda|^p
|f|^p )^{\frac{1}{p}}=|\lambda |\cdot \|f\|_p$$
$$\|f\|_p=0 \Leftrightarrow f=0 \; \text{f.ü.}$$
$L^p=\LL^p/\{f|\; \|f\|_p=0\}$ versehen mit der induzierten Norm ist
dann ein normierter Raum.
\item $X=\N,\; \mu=$Zählmaß. Statt $\LL^p$ schreibt man $l^p$.
$$l^p=\{(a_i)_{i\in \N} | \sum_{i=1}^\infty |a_i|^p <\infty \} \;
\|a\|_p=(\sum |a_i|^p)^{\frac{1}{p}}$$
$$\text{Hölder} \; \sum |a_i b_i| \le (\sum |a_i|^p)^{\frac{1}{p}}
\cdot (\sum |b_i|^q)^{\frac{1}{q}} \; \text{für} \; a\in l^p, b\in
l^q$$
Für $p=q=2$ ist die die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung.
$$\text{Minkowski} \; (\sum |a_i + b_i|^p)^{\frac{1}{p}} \le (\sum
|a_i|^p)^{\frac{1}{p}}+(\sum |b_i|^p)^{\frac{1}{p}} $$
\end{enumerate}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Mit $f,g$ ist auch $f\cdot g$ messbar. Für $\|f\|_p=0$ oder
  $\|g\|_q=0$ ist die Behauptung trivial. Seien also $\|f\|_p \neq 0 \neq
  \|g\|_q$. Nach Lemma 10.1 gilt:
$$
\begin{array}{cccccc}
\forall x & \frac{|f(x)|}{\|f\|_p} \cdot \frac{|g(x)|}{\|g\|_q} &
\le & \frac{1}{p} \frac{|f(x)|^p}{\|f\|_p^p} & + & \frac{1}{q}
\frac{|g(x)|^q}{\|g\|_q^q} \\
 & a  \cdot  b & \le & \frac{a^p}{p} & + & \frac{b^q }{q}\\ 
\end{array}
$$
$\Longrightarrow \footnote{$f\cdot g$ messbar und $|f\cdot g | \le h=$
  integrierbar} f\cdot g \in \LL^1$
Durch Integration folgt:
$$\frac{1}{\|f\|_p\|g\|_q} \int|f\cdot g| \le \frac{1}{p}
\underbrace{\frac{\int |f|^p}{\|f\|_p^p}}_{=1}+ \frac{1}{q}
\underbrace{\frac{\int |g|^q}{\|g\|_q^q}}_{=1} =\frac{1}{p} +
\frac{1}{q}=1$$
$$\Rightarrow \int |f \cdot g|=\|f \cdot g\|_1 \le \|f\|_p \cdot
\|g\|_q$$
\item $f+g$ messbar. Für $p>1$ ist $f,g\in \LL^p$.
$$|f+g|^p=|f+g|^{p-1}|f+g| \le |f+g|^{p-1}|f|+|f+g|^{p-1}|g|$$
und
$$ |f+g|^p \le (2 \sup(|f|,|g|))^p=2^p \sup(|f|^p,|g|^p) \le
2^p(|f|^p+|g|^p)$$
Also ist $|f+g|^p $ integrierbar. Ferner ist $(|f+g|^{p-1})^q=|f+g|^p$
integrierbar, d.h. $|f+g|^{p-1} \in \LL^q$.
$$\int |f+g|^p \le \int |f+g|^{p-1} |f|+\int |f+g|^{p-1} |g|$$
$$ \le \footnote{Hölder-Ungleichung} ( \int |f+g|^p)^{\frac{1}{q}}
( \int |f|^p)^{\frac{1}{p}} + ( \int |f+g|^p)^{\frac{1}{q}}
( \int |g|^p)^{\frac{1}{p}}$$
Für $(\int |f+g|^p)=0$ ist  $\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$ trivial.
Sonst multipliziert man die Ungleichung mit $(\int
|f+g|^p)^{\frac{-1}{q}}$. Man findet:
$$\|f+g\|_p =(\int |f+g|^p)^{1-\frac{1}{q}} \le \|f\|_p+\|g\|_p$$
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}[Riesz-Fischer]
Für $X$ $\sigma $-endlich (z.B. $\N , \R^n$) sind alle $L^p$ vollständige
Räume, sogenannte Banachräume.
\end{satz}

\begin{lem}[Lemma von Fatou]
Sei $(X,\M,\mu)$ ein Maßraum, $ f_n \ge 0, \; f_n$ integrierbar, $f_n
\rightarrow f$ fast überall punktweise, $\int f_n \le C \; \forall n
\in \N \Rightarrow f$ integrierbar und $\int f \le C$.
\end{lem}

\begin{proof}
O.B.d.A. sind die $f_n$ messbar. O.B.d.A. $f_n \rightarrow f$
überall.\\
 Also ist $f$ messbar. Setze jetzt $h_k =\inf \{f_i|i \ge k
\}$. Dann sind alle $h_k$ messbar.\\
 $0 \le h_k \le h_{k+1} \; \forall k$ und $ h_k = |h_k| \le f_k
 \Rightarrow h_k$ integrierbar und $\int h_k \le \int f_k \le C \;
 \forall k \Rightarrow \footnote{B. Levi} h_k \rightarrow g$ f.ü., $g$ ist integrierbar mit $\int g =\lim \int h_k
\le C$.\\
Sei nun $x \in X$ mit $h_k(x) \rightarrow g(x)$. Sei $\varepsilon >0$
gegeben.\\
 Dann $\exists n_0: \; |f_n(x)-f(x)| \le \varepsilon \;
\forall n \ge n_0$.\\
 Dann ist auch $|h_n(x)-f(x)| \le \varepsilon \;
\forall n \ge n_0$, d.h.: $h_n(x) \rightarrow f(x)$. \\
Also $f=g$ fast überall!
\end{proof}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 

