
\paragraph{Interpretation}
``Im Kleinen'' kann man $\phi$ durch seine Ableitung ersetzen bis auf
Fehler h\"{o}herer Ordnung. Also kann man $\phi$ als linear annehmen.

Sei $\mathcal{W}$ der Einheitsw\"{u}rfel: $\{ x| 0 leq x \leq 1 \}$, $\phi : \R^{n} \rightarrow \R^{n}$ linear.
$\phi(\mathcal{W})=$Parallelogramm aufgespannt von
$\phi_{e_{1}},\phi_{e_{2}},\ldots ,\phi_{e_{n}},
\quad\lambda(\phi(\mathcal{W})=\left\vert \det\phi\right\vert $

Beide Seiten der Ma\ss transformationsformel sind $\sigma$-additiv,
liegen also durch ihre Werte auf Erzeugenden der $\sigma$-Algebra von
$\R^{n}$ fest, also z.B. durch ihre Werte auf Quardern $Q=\prod  \left[  a_{i},b_{i}\right]  =\left[  a_{1},b_{1}\right]  \times\left[
a_{2},b_{2}\right]  \times \ldots \times \left[  a_{n},b_{n}\right]  $

Ist nun  $\phi$ eine Koordinatenpermutation, so gilt $\lambda (\phi
Q)=\lambda Q$.

4.Reduktion: $\phi : U \rightarrow V, \; \phi=\varkappa \circ \Psi ,
\; \varkappa :U \rightarrow \mathcal{W} ,\;  \Psi :\mathcal{W}
\rightarrow V$ sei gegeben. Gilt der Satz f\"{u}r $\Psi$ und $\varkappa$, so auch f\"{u}r $\phi$ .
Sei $f:V \rightarrow \R $ integrierbar $\Rightarrow f \circ \Psi
\left\vert \det \Psi^{\prime} \right\vert $ integrierbar und $\int_{V}
f=\int_{\mathcal{W}} f\circ \Psi \left\vert \det \Psi^{\prime}\right\vert $\\

$\Rightarrow \left(  f\circ \Psi \left\vert \det \Psi^{\prime}
  \right\vert \right) \circ \varkappa \left\vert \det
  \varkappa^{\prime} \right\vert =: h$ integrierbar und $\int
_{\mathcal{W}} f\circ \Psi \left\vert \det \Psi^{\prime} \right\vert
  =\int_{U} h$

$h=(f \circ \Psi \circ \varkappa ) \left\vert \det \Psi^{\prime} \circ
\varkappa \right\vert\, \left\vert \det \varkappa^{\prime} \right\vert
=f \circ \phi\left\vert \det \phi^{\prime} \right\vert, \; \text{ mit
  }  \phi=\varkappa \circ \Psi$

$\phi^{\prime} (x)=\Psi^{\prime} \left(  \varkappa(x) \right)  \cdot
\varkappa^{\prime} (x) \Rightarrow \; \left\vert \det \phi^{\prime}
\right\vert =\left\vert \det \Psi^{\prime} \circ \varkappa \right\vert
\left\vert \det \varkappa^{\prime} \right\vert $

Eigentlicher Beweis der Ma\ss transformationsformel durch Induktion nach $n$:

$n=1$: Es reicht, die Behauptung f\"{u}r $A=\left[  a,b\right]  $ zu zeigen.

$\phi :U \rightarrow V$ sei C$^{1}$-Diffeomorphismus $ A \subset U
\;\phi^{\prime} (x) \neq 0 \forall  x \in U \Rightarrow \phi^{\prime}
(x)_{<0}^{>0} \forall  x  \in \left[  a,b\right]  $

1.Fall: $\phi^{\prime} (x) >0 \forall x \in\left[  a,b\right], \;
\phi (A)=\phi \left[a,b\right] =\left[  \phi(a),\phi(b)\right]  \;
\lambda (\phi A)=\phi (b)-\phi (a)$

$\int_{A} \phi^{\prime} =\int_{a}^{b} \phi^{\prime} =\phi (b)- \phi (a)$

2. Fall $\phi^{\prime} (x) <0 \; $  Analog ($\int_{A} \left\vert
  \phi^{\prime} \right\vert =-\int_{A} \phi^{\prime} )$

$(n-1) \rightarrow n \; (n>2) \; \phi :U \rightarrow V, \; \varkappa
:U \rightarrow \mathcal{W} , \; \Psi : \mathcal{W} \rightarrow V,
\rightarrow \exists \varkappa ,\Psi$ mit $\phi =\varkappa \circ \Psi $
und $\varkappa ,\Psi$ lassen mindestens eine Koordinate
fest. O.B.d.A. lasse $\phi$\ eine Koordinate fest. Da der Satz f\"{u}r
Permutationen von Koordinaten gilt, kann man O.B.d.A annehmen, dass $\phi$ die
erste Koordinate festl\"{a}sst.

$\begin{array}{ccc}
U & \overset{\phi}{\rightarrow} &V \\
(t,x) & \mapsto & (t,\Psi(t,x))=(t,\phi_{t}(x))\\
x \in \R^{n-1} & & \Psi (t,x)=(\Psi_{1}(t,x),\Psi_{2}(t,x),\ldots ,\Psi_{n}(t,x))
\end{array}
, \; \;  \phi^{\prime} (t,x)= \left(
\begin{array}
[c]{cc}
1 & 0\ldots 0\\
\ast & \Psi^{\prime}(t,x)
\end{array}
\right)$\\  
$\left\vert \det \phi^{\prime}(t,x)\right\vert
=\left\vert \det \Psi^{\prime}(t,x)\right\vert $

$A \subset U \; A_{t}= \{ x \in \R^{n-1} |(t,x) \in A \}$

$\lambda_{n}$ ist n-dimensionales Lebesguema\ss $ \lambda_{n} (\phi
A)=\footnote{$\lambda_{n}=\lambda_{n-1} \otimes \lambda_{1}$}
\int_{\R} \lambda_{n-1} (\phi (A_{t}))dt$ (Prinzip von Cavalieri)\\
$= \int_{\R} \lambda_{n-1} (\phi_{t} (A_{t}))dt$. Jedes $\phi_{t}$ ist C$^{1}$-Diffeomorphismus, jedes
$A_{t}$ ist messbar.\\
$=\footnote{Induktionsannahme} \int_{\R} \left\vert
\det\Psi^{\prime}(t,x)\right\vert dt=\int_{\R}\left(
\int_{\R^{n-1}}\varkappa_{A_{t}}\left\vert
  \det\Psi^{\prime}(t,x)\right\vert dx\right)  dt$\\
$=\int_{\R} \left( \int_{\R^{n-1}} \varkappa_{A_{t}} \left\vert \det \phi^{\prime
}(t,x)\right\vert dx\right)  dt=\footnote{Fubini} \int_{\R^{n}}
\varkappa_{A}\left\vert \det \phi^{\prime}(t,x)\right\vert dt=\int_{A}
\left\vert \det \phi^{\prime}\right\vert $

\paragraph{Beispiele und Anwendungen} 
``Krummlinige Koordinatenwechsel'' (Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten)

Ebene Polarkoordinaten: 
 $\begin{array}{ccccc}
[0,\infty)\times\left[0,2\pi\right]&
\overset{P}{\rightarrow}& \R^{2}& \overset{f}{\rightarrow}& \R \\
(r,\varphi) & \rightarrow & (r\cos \varphi,r\sin \varphi)& &
\end{array}$\\
$P'(r,\varphi)=\left(
\begin{array}
[c]{cc}
\cos\varphi & -r\sin\varphi\\
\sin\varphi &  r\cos\varphi
\end{array}
\right)  \; \; \left\vert \det P^{\prime}(r,\varphi)\right\vert =r$

P ist hier kein C$^{1}$-Diffeomorphismus, deshalb verbessern wir zu:

$(0,\infty) \times(0,2\pi) \overset{P}{\rightarrow} \R^{2} \backslash
\{(x,0)| x\geq 0 \}$,damit ist P ein C$^{1}$-Diffeomorphismus.

$f: \R^{2} \rightarrow \R $ integrierbar $\Leftrightarrow$ $f_{|V}$
integrierbar und $\int_{\R^{2}} f=\int_{V} f$ !

Deswegen liefert der Tranformationssatz \"{u}berhaupt eine Rechenmethode.

\paragraph{Zwei Rechnungen und ihre Diskussion}
\begin{enumerate}
\item $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} dx=\sqrt{\pi}$
\item $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item $\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} dx \right)
  ^{2}=\left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} dx \right) \left(
    \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}dy\right)  = \int_{\R^{2}}
  e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy= \int_{(0,\infty)\times(0,2\pi)}
  re^{-r^{2}}dr d\varphi= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2\pi}
  re^{-r^{2}}dr d\varphi=\pi \int_{0}^{\infty} 2re^{-r^{2}}dr = \pi
  \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{0}^{n} 2re^{-r^{2}}dr =\pi
  \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left[  e^{-r^{2}}\right]_{0}^{n}=\pi$

\item $ \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx=\footnote{$\frac{1}{x}=
    \int_{0}^{\infty} e^{-xt}dt$} \int_{0}^{\infty} \sin x\left(
    \int_{0}^{\infty} e^{-xt}dt\right)  dx= \int_{0}^{\infty} \left(
    \int_{0}^{\infty} \left(  e^{-xt}\sin x\right)  dt\right)  dx=
  \int_{0}^{\infty} \left\vert \frac{e^{-xt}}{t^{2}+1}(-t\sin x-\cos
    x)\right\vert _{0}^{\infty} dt= \int_{0}^{\infty}
  \frac{1}{t^{2}+1}dt =\left[  \arctan t\right]  _{0}^{\infty}=\frac{\pi}{2}$
\end{enumerate}

Anmerkung: $\int_{0}^{\infty} f=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}
\int_{0}^{n} f$, falls dieser existiert (uneigentliches Integral)
$ =\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{[0,n]} f \neq
\int{\lbrack0,\infty]} f \; \;  (0,\infty )= \bigcup_{n \in \N} \lbrack o,n)$

Ein uneigentliches Integral $\neq$ Lebesgueintegral!
Falls aber die Funktion $f \geq 0$, so gilt nach Aussch\"{o}pfungssatz Gleichheit!

$\left\vert \frac{\sin x}{x}\right\vert $ ist auf $[0,\infty )$ nicht Lebesgue
- integrierbar, aber $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx$ existiert
$\left(  \lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1\right) $.


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 
