\begin{thm}
  Seien X und Y $ \sigma$-endliche Ma"sr"aume. Dann gilt: \\
  \begin{enumerate}
  \item ist $ f:X \times Y \rightarrow [ 0,\infty ]$ messbar, dann gilt
    $$\overline\int_{X \times Y} f = \overline\int_X \left(\overline\int_Y
      f\right) = \overline\int_Y \left(\overline\int_X f\right) =
    \overline\int_X \left(\overline\int_Y f(x,y)dy\right)dx$$
    \\
    
    \item\textbf{ Satz von Tonelli:}\label{tonelli}
    
    $ f: X \times Y \rightarrow \mathbb{R} $ sei messbar bez\"uglich $\cal A
    \otimes \cal B $
    
    falls $ \overline\int_{X \times Y} |f| < \infty$, genau dann ist $f$
    Lebesgue-integrierbar auf $ X \times Y$.\\
    
    \item\textbf{ Satz von Fubini:}\label{fubini}
    

    Falls f integrierbar ist auf $ X \times Y $ , so gilt: \\
    \begin{enumerate}
    \item f\"ur fast alle x ist die Funktion $f_x : Y \rightarrow \mathbb{R}$
      integrierbar, d.h $$
      \int_Y f_x = \int_Y f_x dy = \int_Y f_x(y) dy =
      \int_Y f_x(x,y) dy $$
      existiert.\\
    
      \item F\"ur jede Fortsetzung g der f.\"u. definierten Funktion $ x
      \mapsto \int_Y f_x $ ist g integrierbar und es gilt:$$\int_X g =
      \int _{X\times Y} f $$
      kurz: $$
      \int _{X\times Y} f "`="'\int _X \left(\int_Y
      f(x,y)dy\right)$$
  \end{enumerate}
    \ref{fubini}. gilt auch mit vertauschten Rollen. f integrierbar $\Rightarrow
    \int_{X\times Y } f = \int_X (\int_Y f) = \int_Y (\int_X f) $ Warnung: $
    \int_X (\int_Y f) = \int_Y (\int_X f) \not\Rightarrow \exists \int_{X\times Y} f $
\end{enumerate}
\end{thm}
\begin{proof}
  \begin{enumerate}
  \item $\overline\int f :=\sup \overline\int \varphi $ \marginpar{$\varphi = $ Stufenfunktion
      $\ge 0 , \varphi \ge f$}
  
    $ \varphi = $ Stufenfunktion, d.h. $\varphi = \sum^r_{i=1} \lambda_i
    \chi_{M_i} , \lambda_i \ge 0 M_i $ messbar in $X \times Y$ d.h. $
    M_i  \in \cal A \otimes \cal B$  \\
  
    $$\overline\int \chi_{M_i} = \mu \otimes \nu (M_i) =\footnote{per Konstruktion}
    \overline\int_X \overline\int_Y \chi_{M_i} $$
  
    Teil 1) gilt per Konstruktion f\"ur charakteristische Funktionen messbarer
    Mengen, also dann auch f\"ur Stufenfunktionen. Es folgt:
    $$
    \overline\int_{X\times Y} f = \sup(\overline\int_{X\times Y} \varphi) = \sup (\overline\int_X
    \overline\int_Y \varphi ) =\footnote{B. Levi} \overline\int_X \overline\int_Y \sup \varphi=
    \overline\int_X \overline\int_Y f $$
  
    genauso gilt:$ \overline\int_{X \times Y} f = \overline\int_X(\overline\int_X f)$
  
    

    \item $ \overline\int |f| < \infty \Leftrightarrow$ 

      \begin{enumerate}
      \item Z=$|f^{-1}|(\infty) =$ Nullmenge  \\
        \item $ |f|$ ist auf $ X \times Y \setminus Z $ Lebesgue-integrierbar und $
        \int_{X\times Y \setminus Z} |f| = \overline\int_{X\times Y} |f| $
  \end{enumerate}
    Bei uns ist $ Z=\emptyset, $ da $ f:X\rightarrow \mathbb{R} $ Also besagt
    ii):$ |f|$ ist integrierbar auf $X\times Y$.  Standardkriterium:
  $f$ ist integrierbar auf $X\times Y $ \\
  
  \item Schreibe $ f=f^+ - f^-$ mit $ f^+= \frac{1}{2}(f + |f|). $ Dann sind
  auch$ f^+$ und $ f^-$ integrierbar. O.B.d.A. braucht man nur $ f^+$ zu
  betrachten, d.h. man kann annehmen $f\ge 0$ Nach Ab\"andern von f auf einer
  Nullmenge $ Z \subset X\times Y $ erhalten wir eine messbare Funktion \~f
  die immer noch $\ge 0$ ist.
  
  Mit $f$ ist auch $\tilde{f}$ integrierbar und es gilt: $ \int_{X\times Y} f =
  \int_{X\times Y} \tilde{f} < \infty \\
\int_{X\times Y} \tilde{f} = \overline\int_{X\times Y} f =\footnote{1)} \overline\int_X(\overline\int_Y
  f(x,y)dy)dx < \infty\\
  F(x) = \overline\int f_x = \overline\int_Y f(x,y)dy\\
  F:X\rightarrow [0,\infty]$
  
  Also ist $ F^{-1}(\infty)$ eine Nullmenge. $ \overline\int f(x,y)dy < \infty$ f.\"u.
  
  Also ist f.\"u $f_x$ Lebesgue-integrierbar und es gilt: $\overline\int f(x,y)dy =
  \overline\int_Y f(x,y)dy $
  
  F\"ur die abge\"anderte Funktion g gilt dann: $ \int_Y F =
  \footnote{Ab\"andern auf eine Menge vom Maß Null}  \overline\int g
  =\footnote{$g^{-1} = \emptyset$ und $ \overline\int g <\infty$ }$
  
  Zusammengenommen gilt: $\int f = \overline\int \tilde{f} = \overline\int_X\overline\int_Y \tilde{f} =
  \int_X\int_Y f $
\end{enumerate}
\end{proof}
\paragraph{Bemerkung}
 Bei uns ist $X =  \R^{n-1} $ und $Y = \R $. Per Induktion
hat man $\R^{n-1}$ schon mit dem ($n-1$)-dimensionalen Lebesgue-Ma\ss  
 versehen. $$ \lambda_{n-1} = \underbrace{\lambda \otimes ... \otimes
\lambda}_{(n-1)-mal} = \lambda_{n-2} \otimes \lambda$$

Auf $\R^n $ nimmt man $\lambda_n = \lambda_{n-1} \otimes  \lambda $

Verallgemeinerter Fubini: $ f:\R^n \rightarrow \R $ sei integrierbar
$\Rightarrow \int_{R^n} f = \int ..(\int f(x_1...x_n)dx_1)...dx_n$
Die messbaren Mengen auf $\R^n$ bez\"glich $\lambda_n$ sind genau die
Borel-Mengen, d.h. die Elemente in der $\sigma$-Algebra, die von den
offenen Mengen erzeugt werden.\\

\section{Die Transformationsformel}

\begin{thm}
  Seien U und V offen in $\R^n$ und $\Phi: U\rightarrow V$ ein
  $C^1$-Diffeomorphismus. Sei $f:V\rightarrow \R $ eine Funktion. Dann gilt: f
  ist integrierbar auf V genau dann, wenn $ f\circ \Phi \cdot |\det \Phi'| $
  integrierbar ist auf U. In diesem Fall gilt: $$ \int_V f = \int_U f\circ \Phi
  \cdot |\det \Phi'|$$
\end{thm}
\addtocounter{thm}{-1}
\paragraph{Bemerkung}
\begin{enumerate}
\item $\int f(\Phi(x)) \cdot | \det \Phi'| dx = \int f\circ \Phi \cdot
  |\det\Phi'|$
  
  \item $ U\stackrel{\Phi}{\rightarrow}V C^1$-Diffeomorphismus :$\Leftrightarrow
  \Phi$ bijektiv und $ \Phi^{-1} $ ist wieder $C^1 $\marginpar{($x_1..x_n)$\\$
    \rightarrow (x_1..x_n)=f(x_1..x_n)$} $\Phi \circ \Phi^{-1} = id_V
  \Rightarrow id_V (v)= id_{\R^n} = (\Phi \circ \Phi^{-1})'(v) =
  \Phi'(\Phi^{-1}(v))\cdot (\Phi^{-1})'(v)
  \R \supset U \rightarrow \R^n $ Rang $f'(x)=r \forall x \in U$

\[
 \begin{array}{ccc}
 A:\R^n & 
  \longrightarrow                   &
 \R^n                              \\
 \Big\downarrow                    & &
 \Big\downarrow                            \\
 \R^n                       &
 \longrightarrow                    &
 \R^n
 \end{array}
\]


\[
 \begin{array}{ccc}
 \R^n\supset U & 
 \stackrel{f}{ \longrightarrow}           &
 \R^n                              \\
 \downarrow\uparrow                    & &
 \downarrow\uparrow                    \\
 \tilde{U}                      &
 \longrightarrow                    &
 \R^n
 \end{array}
\]
\end{enumerate}

\begin{defi}[Basis]
  Sei $(X, \mathcal T)$ Topologischer Raum. Eine Teilmenge $\mathcal B$ von $\mathcal T$
  hei\ss t Basis von $\mathcal T$ f\"ur die Topologie, falls jede offene Menge $U\in
  \mathcal T$ Vereinigung von offenen Mengen aus $\mathcal B$ ist. Der topologische Raum
  $X$ hei\ss t separabel, falls es eine abz\"ahlbare Basis gibt.
\end{defi}

\begin{lem}
  Sei $X$ metrischer Raum. Genau dann ist $X$ separabel, falls $X$ eine abz\"ahlbar
  dichte Teilmenge enth\"alt. In diesem Fall besitzt jede offene \"Uberdeckung
  von $X$ eine abz\"ahlbare Teil\"uberdeckung.
\end{lem}
\paragraph{Beispiel}

\begin{enumerate}
\item $\R$ versehen mit der \"ublichen Metrik ist separabel, denn:
  $\Q^n $ abz\"ahlbar dicht in $\R^n$
  
  \item $X$ separabel und $Y \subset X$ versehen mit der ,,Spurtopologie``
  
  $\mathcal{T}_{y} \{U\cap Y | U \in \mathcal{T}\}.$
  
  dann ist auch $Y$ separabel.
\end{enumerate}

\begin{proof}
  ``'$\Rightarrow$'''\\[0.1cm]
  
  Sei $X$ separabel. Sei $\mathcal B = \{U_i | i \in \N \}$ eine abz\"ahlbare
  Basis offener Mengen. O.B.d.A. sind $U_i \not= \emptyset \forall i. $
  W\"ahle $x_i \in U_i$ und setze $Z=\{x_i|i\in I\}.  \bar Z$ ist der Abschluss
  von $Z$ (kleinste abgeschlossene Menge, die $Z$ enth\"alt = $\cap A.$
  \marginpar{$A$ abgeschlossen, $A \supseteq Z$}
  
  Dann ist $\bar{Z} = X$, da sonst $X \setminus\bar{Z}$ = offen $\not= \emptyset
  \Rightarrow $ weil $\cal B$ Basis ist $Z\setminus \bar Z \supset U_j$ f\"ur
  ein $j\in \N. $ Also ist $x_j \notin \bar Z, $ aber $x_j \in Z
  \supset \bar Z \surd $
  
  Sei jetzt $Z = \{x_i | i \in \mathbb{N}\} $ eine abz\"ahlbar dichte Teilmenge
  von $X$.
  
  Sei $\mathcal B = \{ U_\varepsilon (x_i)\footnote{$\{y|d(y,x_i)<\varepsilon\}$}
  | \varepsilon \in \mathbb{Q}, i\in \mathbb{N}\} $ \marginpar{$
    \varepsilon>0$} Dann ist \cal B abz\"ahlbare Familie von offenen Mengen.
  Sei nun U offen beliebig, Zu zeigen: $$U=\bigcup_{U'\in\cal B,U`\subseteq U}
  U'$$
  
  Sei $x \in U$ beliebig. Dann ist $U_\varepsilon (x) \subset U $ f\"ur ein
  $\varepsilon > 0 $ , da $U$ offen ist. Da $Z$ dicht ist, $\exists $ ein $x_i
  \in U_\frac{\varepsilon}{4} (x) . $ W\"ahle $\delta \in\mathbb{Q} $ mit $
  U_\delta (x_i) \subset U_\varepsilon (x)$
  
  Sei schlie\ss lich $$
  X=\footnote{offene \"Uberdeckung}\cup_{i\in I} i $$
  und sei \cal B = $\{V_j | j \in \mathbb{N}\}$ eine abz\"ahlbare Basis.\\ 
  Sei $ \mathcal T = \{ j \in\mathbb{N} | V_j \subset U_i $ f\"ur ein $i\in I\}
  \mathcal T$ ist abz\"ahlbar, $\mathcal T \subset \N$ W\"ahle f\"ur $ j\in
  \mathcal T $ einen Index $i(j)$ mit $ V_j \subset U_{i(j)}.$ Dann ist
  $X=\cup_{j\in\mathcal{T}} U_{i(j)}$.

\end{proof}

\begin{lem}
  Sei $n \ge 2.$ Seien $U, V$ offen in $\R^n, \Phi : U \rightarrow V
  C^1$-Diffeomorphismus.
  
  $x=(x_1...x_n) \mapsto (\Phi_1 (x_1...x_n))...(\Phi_n(x_1...x_n))$
  

  Sei $p\in U$ mit $\frac{\partial \Phi_1}{\partial x_1} (p) \not= 0$
$$  \Phi'(x)= \left(
  \begin{array}{lll}
     \frac{\partial \Phi_1}{\partial x_1}      &\ldots &
                   \frac{\partial \Phi_1}{\partial x_n }\\
     \vdots             & \ddots  &    \vdots            \\
    \frac{\partial \Phi_n}{\partial x_1}   & \ldots  &
    \frac{\partial \Phi_n}{\partial x_n}\\
 \end{array}
\right)  \text{Jakobimatrix} $$

Dann l\"asst sich $\Phi$ lokal um $p$ schreiben als Komposition von zwei
Diffeomorphismen $\chi$ und $ \psi$ , von denen jeder mindestens eine Variable
festl\"asst\marginpar{i-te Funktion=Identit\"at}, d.h.: $ \exists $ offene
Umgebungen $U(p)$ von $p, V(q)$ von $q=\Phi(p)$, eine offene Menge $ \cal W
\subset$ $\R^n$ und $\C^1$-Diffeomorphismen $\chi_i U(p)\rightarrow
\cal{W}, \psi: \cal W\rightarrow $V(g) mit $ \Phi = \psi \circ \chi .$

\[
  \begin{array}{ccc}
   U         &      \stackrel{\Phi}{\longrightarrow}    &    V   \\
   \cup \text{offen}  &                                    &   \cup \text{offen} \\
   p  \in U(p)  & \stackrel{\Phi}{\longrightarrow}   &  V(p) =  \Phi(U(p))
\end{array}
\]


$p \in U(p) \stackrel{\chi}{\longrightarrow} \mathcal W
\stackrel{\psi}{\longrightarrow} V(p) = \Phi(U(p))$
\end{lem}

\begin{proof}
  
  Betrachte $ \tilde{\chi} : U \rightarrow \R^n, \,  (x_1...x_n) \mapsto (\Phi_1(x_1...x_n)), x_2,...x_n)$
  
  $$\tilde{\chi}' = \left(
  \begin{array}{lllll}
    \frac{\partial \Phi_1}{\partial x_1}(x)   &    \frac{\partial
     \Phi_1}{\partial x_2}(x)  & \ldots & \ldots & \ldots  \\
   0 & 1 & 0 & \ldots & 0                         \\
   \vdots  &  \vdots  &  \vdots  & \ddots  & \vdots \\
   0 & 0 & \ldots  & \ldots & 1                 \\
  \end{array}
\right ) $$


     
Da $ \frac{\partial \Phi_1 }{\partial x_1} \not= 0 $ ist, ist $\det
\tilde{\chi}'\not= 0 $ Nach Satz von der inversen Funktion existiert eine
offene Menge $U(p)$\marginpar{$p \in U(p)$} $\subset U$ und eine
offene Menge $\mathcal W \subset \R^n$ mit

\begin{eqnarray*}
   U         &      \stackrel{\tilde{\chi}}{\longrightarrow}    &    \R^n   \\
   \cup \text{offen}  &                                    &   \cup \text{offen} \\
   p\in U(p)  & \stackrel{\tilde{\chi}}{\longrightarrow}   & q\in \mathcal{W}(p) \\
\end{eqnarray*}


$ \tilde{\chi} = C^1$-Diffeomorphismus
$\chi = \tilde{\chi} $ tut's, denn 
\[
\begin{array}{llll}
     U(p) &  \stackrel{\Phi}{\longrightarrow} & V(p)&  \\
      \stackrel{\chi}{\searrow} &      \hookrightarrow    &
      \swarrow &\psi=\Phi\circ\chi^{-1}     \\
              & \mathcal W  &     &                                    \\
\end{array} 
\]

$\psi$ l\"asst $ x_1$ fest, $\psi(x_1...x_n)=x_1 $ \\
\end{proof}

\begin{thm}[Transformationsformel]
  Seien $U, V$ offen in $\R^n, \; \Phi:U\rightarrow V C^1$-Diffeomorphismus
  $$  U\stackrel{\Phi}{\rightarrow} V \stackrel{f}{\rightarrow} \R$$
  Sei $f:V\rightarrow \R$ Abbildung. Dann gilt:
  
  $f$ integrierbar auf $V \Leftrightarrow (f\circ \Phi)\cdot |\det \Phi'|$
  integrierbar auf $U$.
  
  In diesem Fall gilt: $\int_V f = \int_U (f\circ \Phi ) \cdot |\det \Phi'|$
\end{thm}

\begin{proof}
  
  1. Reduktion: Es reicht,die,,$\Rightarrow $ ``zu zeigen und die Formel, denn
  $$
  U \stackrel{\Phi}{\rightarrow} V \rightarrow \mathbb{R}$$
  
  $\tilde{f}:=(f\circ\Phi)|\det \Phi'| $
  
  Wende die ,,$\Rightarrow$`` -Richtung auf \~f und $ \Phi^{-1}$ an . Dann
  gilt $\tilde{f}\circ\Phi^{-1} \cdot|\det (\Phi^{-1})|$ ist integrierbar auf
  V . Es ist aber $$(\tilde{f}\circ\Phi^{-1}) \cdot|\det (\Phi^{-1})|(v)=
  \underbrace{(f\circ\Phi)(\Phi^{-1}(v))}_{f(v)} \cdot\underbrace{|\det
    (\Phi')(\Phi^{-1}(v))||\det(\Phi^{-1})'(v)|}_{(\Phi\circ\Phi^{-1}) = id}$$
  
  $\Rightarrow $Kettenregel $\Phi'(\Phi^{-1}(v)\cdot(\Phi^{-1})'(v) = id_n$
  
 $ \Rightarrow 1 = \det (id_n) = \det(\Phi'(\Phi^{-1}(v)\cdot(\Phi^{-1})'(v)) =
  \det \Phi'(\Phi^{-1}(v))\cdot \det(\Phi^{-1})'(v)$
  
  2.Reduktion: Es gen\"ugt den Satz ,,lokal'' zu zeigen, d.h. es gen\"ugt zu
  zeigen: falls jeder Punkt $p \in U$ eine offene Umgebung U(p)$\subset$U hat,
  so dass der Satz f\"ur
  
   \begin{eqnarray*}
   U & \stackrel{\Phi}{\longrightarrow} & V \\
  \cup &   \hookrightarrow   &  \cup       \\
 U(p)  & \stackrel{\Phi_p}{\longrightarrow}  & V(q)= \Phi(U(q))\\
\end{eqnarray*}



\begin{proof}
  $ U=\cup_{p\in U} U(p)$ = separabel. Nach Lemma 1 gilt
  schon: $U=\cup_{i\in \mathbb{N}} U(p_i) .$ Aussch\"opfungssatz angewandt auf
  $U_i' = U(p_i) \setminus \cup_{j<i} U(p_j) =$ messbar liefert die
  Behauptung.
  
  O.B.d.A. sei von nun an U,V beschr\"ankt von endlichem Maß und
  $|\det\phi'|$ beschränkt.
\end{proof}
3. Reduktion:

Es reicht, die sog. Ma\ss transformationsformel zu zeigen:

$\forall$ messbare Mengen $A\subset U $ gilt: $\lambda(\Phi(A)) = \int_A
|\det\Phi'| , $ denn der Satz und die Formel angewandt auf $\chi_B$ mit
messbar $\subset$ V besagt:
$$
\lambda(B) = \int_V \chi_B = \int_U\underbrace{(\chi_B \circ\Phi
  )}_{\chi_{\Phi^{-1}B}}\cdot |\det\Phi'| \forall B \subset V \text{messbar}$$
Mit $A = \Phi^{-1} B$ erhalten wir die obige
Ma\ss transformationsformel.

Ma\ss transformationsformel $\Leftrightarrow $ Satz gilt f\"ur $\chi_A$'s , $A$
messbar in $V \Rightarrow$ Satz gilt f\"ur Treppenfunktionen. Sei nun $f$
integrierbar. Dann $\exists L^1-C.F., \varphi_n $ von Treppenfunktionen, die
au\ss erhalb der Nullmenge $Z$ gegen $f$ konvergiert.

$$
\int_V\underbrace{|\varphi_n - \varphi_m|}_{Treppenfunktion} =
\int_U\underbrace{|\varphi_n - \varphi_m|\circ \Phi }_{|\varphi_n\circ\Phi -
  \varphi_m \circ \Phi|} \cdot |\det \Phi'| = \int_U
|(\varphi_n\circ\Phi)\cdot|\det \Phi'| - (\varphi_m\circ\Phi)\cdot|\det
\Phi'||$$

Also: $f_n := (\varphi\circ\Phi) \cdot |\det \Phi'|$ ist integrierbar auf U
mit $\int_U |f_n - f_m| = \int|\varphi_n - \varphi_m|$ d.h. die $f_n$'s sind
$L^1$-C.F.


$ \varphi_n(x) \rightarrow f(x) \forall x\not\in Z \Rightarrow
(\varphi_n\circ\Phi)\cdot|\det\Phi'| = f_n \rightarrow f\circ \Phi |\det\Phi'|
$ au\ss erhalb von $\Phi^{-1} Z$.

Mit $Z$ ist auch $\Phi^{-1} Z$ Nullmenge.

Somit ist $f\circ \Phi)\cdot|\det\Phi'|$ f.\"u. punktweiser Grenzwert der
$L^1$-C.F.$f_n $ integrierbar mit $\int_U (f\circ\Phi)\cdot|\det\Phi'|=
\lim_{n\rightarrow\infty} \int_U f_n = \lim \int_V \varphi_n = \int_V f$
\end{proof}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 

