\section{Elemente der Variationsrechnung}

\textbf{Problem:} In Mathematik und Physik treten oft Probleme auf, zu deren
Lösung eine Funktion minimiert oder maximiert werden soll, die von
unendlich vielen Variablen (Freiheitsgraden) abhängt. Die mathematische
Disziplin, die sich mit diesen Fragen besch\"aftigt
heisst Variationsrechnung. Es gibt enge Bez\"uge
zu (gew\"ohnlichen und partiellen) Differentialgleichungen.

\paragraph{Beispiele}
\begin{enumerate}

\item Das Brachistochron-Problem von Bernoulli (1696).\\

\textbf{Frage:} F\"ur welche Kurve von A nach B ben\"otigt
eine reibungsfrei rutschende Kugel die geringste Zeit?\\

\"Ubersetzung in ein Minimierungsproblem:\\
O.B.d.A. ist $y=y(x),y(0)=0,y(a)=b,T(y)=$ Zeitdauer 
f\"ur das Durchlaufen \\

$T(y)=\int _{0}^{a}\sqrt{\frac{1+y'(x)^{2}}{2\cdot g\cdot y(x)}}dx$\\

$T:=\{y | y:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}, y(0)=0, y(a)=b, y=\text{stetig differenzierbar}\}\rightarrow \mathbb{R}$ \\

\item Gegeben sei ein System in der Mechanik, das vollständig
beschreibbar ist durch kinetische Energie $T$ und potentielle Energie
$U$. $T=T(t,q,\dot{q})$ mit $t$ Zeit, $q=(q_{1},q_{2},...,q_{n}),q_{i}(t)\in \mathbb{R}^{3}$ Position des Teilchens $i$ zur Zeit $t$,und $\dot{q}=(\dot{q}_{1},\dot{q_{2}},...,\dot{q_{n}}),\dot{q_{i}}(t)\in \mathbb{R}^{3}$ Geschwindigkeit des Teilchens $i$ zur Zeit $t$.\\

$T(t,q,\dot{q})=\frac{1}{2}m\dot{q}_{i}^{2}$ $n=1$ und i.a. $U=U(t,q)$\\

\textbf{Hamilton'sches Prinzip:} Zwischen zwei Zeitpunkten $t_{0}<t_{1}$ verlaufen
die Bahnkurven $t\rightarrow q(t)$ des mechanischen Systems so, dass
das sog. Wirkungsintegral $I(q)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,q(t),\dot{q}(t))dt$
extremal wird. Dabei ist $L(t,q(t),\dot{q}(t)):=T(t,q,\dot{q})-U(t,q,\dot{q})$.
(In Beispiel 1 wäre $L(t,u,v)=\sqrt{\frac{1+v}{2\cdot g\cdot u}}$ \\
\item Aufgabe 3 \"Ubungsblatt 5.
\item Minimalflächen
\end{enumerate}

\textbf{Abstrakte Formulierung:} Sei $L:D\times G\times
\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ (=die Lagrange-Funktion) 2-mal stetig differenzierbar. Dabei sei $D\subset \mathbb{R}$ offen ('Zeitintervall') und $G\subset \mathbb{R}^{n}$ offen
(Konfigurationsraum).\\

Sei $[a,b]\subset D$. Ferner sei $x,x'\in G$ gegeben. Betrachte
$C^{1}$-Funktionen $\varphi :[a,b]\rightarrow G$ mit $\varphi (a)=x,\varphi(b)=x'$. Setze $I(\varphi )=\text{Wirkungsintegral}:=\int _{a}^{b}L(t,\varphi (t),\dot{\varphi}(t))dt$ \\

\textbf{Problem:} Für welche $\varphi $ hat $I(\varphi )$ einen extremalen
Wert?\\

\textbf{Geniale Idee von Euler:} Sei $\varphi $ eine Kurve mit $I(\varphi )$
extremal. Betrachte für beliebiges $\psi =C^{1}$-Kurve mit $\psi (a)=0=\psi (b)$
die gest\"orte Kurve $t\mapsto \varphi (t)+\varepsilon \cdot \psi (t)$
f\"ur $\varepsilon =\varepsilon (\psi )$ hinreichend klein. Betrachte
$F_{\psi }:(-\varepsilon _{\psi },+\varepsilon _{\psi })\rightarrow \mathbb{R}$
mit $F(\varepsilon )=\int _{a}^{b}L(t,\varphi (t)+\varepsilon \psi (t),\dot{\varphi }(t)+\varepsilon \dot{\psi }(t))dt$.
Wegen der Voraussetzungen an $L$ ist nach Parameterintegrals\"atzen
$F$ differenzierbar. Da $F(0)=I(\varphi )$ extremal ist, gilt $F'(0)=0$.
F\"uhrt man das aus, so erh\"alt man die sog. \textbf{Euler-Lagrange'schen
Differentialgleichungen:} \\

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))=\frac{\partial L}{\partial x_{i}}(t,\varphi ,\dot{\varphi }(t)),\; (\forall i=1,\ldots ,n)$$\\

\begin{enumerate}

\item Vorbemerkung: Wieso gibt es f\"ur festes $\psi $
ein $\varepsilon _{\psi }>0$ mit $\varphi (t)+\varepsilon \psi (t)\in G\; \forall |\varepsilon |<\varepsilon _{\psi }$?\\

Die Funktion
$
\begin{array}{cccc}
H:&[a,b]\times \mathbb{R}&\rightarrow &\mathbb{R}^{n}\\
&(t,\varepsilon)&\mapsto &\varphi (t)+\varepsilon \psi (t)
\end{array}
$ ist
stetig.  \\

F\"ur jedes $t\in [a,b]$ ist $H(t,0)\in G=\text{offen}.$ Da $G$ offen $\exists \eta =\eta _{t}>0$
mit $U_{\eta }(H(t,0))\subset G$. Wegen der Stetigkeit $\exists \varepsilon =\varepsilon _{t}>0$
mit $H(U_{\varepsilon }(t,0))\subset U_{\eta }(H(t,0))\subset G$.\\
Da $[a,b]$ kompakt ist, gilt $[a,b]\subset \bigcup _{i=1}^{r}U_{\frac{\varepsilon t_{i}}{2}}$
mit endlich vielen Punkten $t_{i}$. $\varepsilon _{\psi }:=\min_{i=1}^{r}\frac{\varepsilon t_{i}}{2}>0$ leistet das Gewünschte! \\

\item Zum Beweis ben\"otigen wir die Ableitung der Funktion
$\varepsilon \mapsto L(t,\varphi (t)+\varepsilon \psi (t),\dot{\varphi }(t)+\varepsilon \dot{\psi }(t))$ an der Stelle 0.

$${\underbrace{(-\varepsilon _{\psi },\varepsilon _{\psi })\rightarrow \mathbb{R}\times G\times \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}}\atop J}$$
$$\varepsilon \mapsto (t,\varphi (t)+\varepsilon \psi (t),\dot{\varphi }(t)+\varepsilon \dot{\psi }(t)),\; (t,x,y)\mapsto L(t,x,y)$$ \\
$$J'(0)=L'(J(0)\cdot \alpha '(0)=(\frac{\partial L}{\partial t}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t)),\frac{\partial L}{\partial x_{1}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t)),\ldots ,\frac{\partial L}{\partial y_{1}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t)),\ldots$$ \\ $$ ,\frac{\partial L}{\partial y_{n}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))\left(\begin{array}{c}
 0\\
 \psi _{1}(t)\\
 \vdots \\
 \psi _{n}(t)\\
 \dot{\psi _{1}(t)}\\
 \vdots \\
 \dot{\psi _{n}(t)}\end{array}
\right )=\sum \frac{\partial L}{\partial x_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))+\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))\dot{\psi _{i}}$$
\end{enumerate}


\begin{satz}
  Sei $L:D\times G\times \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}$ wie eben 2-mal
  stetig differenzierbar, $D\subset \mathbb{R}^{n}$ offen. Sei $[a,b]\subset
  D,\; x,x'\in G$. Damit $I(\varphi)=\int _{a}^{b}L(t,\varphi
  (t),\dot{\varphi }(t))dt$ unter allen $C^{1}$-Kurven $\varphi
  :[a,b]\rightarrow G$ mit $\varphi (a)=x,\; \varphi (b)=x'$ extremal ist, ist
  das Bestehen der Euler-Lagrange'schen
  Differentialgleichung eine notwendige Bedingung.\\
\end{satz}

\begin{proof}
  Betrachte f\"ur beliebige $\psi =C^{1}$-Kurve mit $\psi (a)=0=\psi (b),\; \psi :[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ ein geeignetes $\varepsilon _{\psi }>0$ mit $\varphi (t)+\varepsilon \psi (t)\in G\, \forall t,\forall \varepsilon $ mit $|\varepsilon |<\varepsilon _{\psi }$.\\
  
  Setze $F:(-\varepsilon _{\psi },+\varepsilon _{\psi })\rightarrow
  \mathbb{R}$ als $F(\varepsilon )=\int _{a}^{b}L(t,\varphi (t)+\varepsilon
  \psi (t),\dot{\varphi }(t)+\varepsilon \dot{\psi }(t))dt$.  Nach
  \"Ubungsaufgabe 1 Blatt 4 ist $F$ differenzierbar und es gilt
  $0=F'(0)=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial L}{\partial x_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))\psi _{i}(t)dt+\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))\dot{\psi }_{i}(t)dt$(Partielle Integration)\\
  $=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}\ldots +\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))\dot{\psi }_{i}(t)dt$\\
  

  $=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}\ldots +\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))\psi _{i}(t)|_{a}^{b}-\sum _{i=1}^{n}\int _{a}^{b}\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi }(t))\psi _{i}(t)dt$,\\
  $\forall i\, \psi _{i}(a)=\psi _{i}(b)=0$ $=\int _{a}^{b}\sum
  _{i=1}^{n}(\frac{\partial L}{\partial x_{i}}(t,\varphi (t),\dot{\varphi
    }(t))-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi
  (t),\dot{\varphi }(t)))\psi _{i}(t)dt$.
\end{proof}

\begin{lem}[Sogenanntes Fundamentallemma der Variationsrechnung]
  Ist $\int _{a}^{b}f(t)\cdot g(t)dt=0$ für $f$ stetig, und alle
  $g=C^{1}$-Funktionen
  mit $g(a)=g(b)=0$, so ist $f\equiv 0$.
\end{lem}

\begin{proof}
  Sei $f\not \equiv 0\Rightarrow \exists x\in [a,b]$ mit $|f(x)|=\varepsilon
  >0$.  Da $f$ stetig ist, $\exists \delta $-Umgebung mit
  $|f(x')|>\frac{\varepsilon }{2}\forall x'$
  mit $|x'-x|<\delta $. W\"ahle $g$ so, dass $g(x)=0\; \forall y\notin U_{\delta }(x)$\\
  
  $g(x)=\text{signum}\, f(x)$, $g$ wechsele nicht das Vorzeichen. $\Rightarrow \int
  _{a}^{b}f\cdot g>0$.
\end{proof}

\textbf{Lagrange-Funktion} \\
$L: \underset{\text{offenes Intervall}\subset 
\mathbb{R}}{D}\times\underset{\text{offen}\subset\mathbb{R}
}{G}\times \mathbb{R}^{n}\longrightarrow \mathbb{R}\;$ "`gut"' = mindestens $C^{2}$
mit $$(t,x=(x_{1},...,x_{n}),y=(y_{1},...,y_{n}))\longmapsto L(t,x_{1}%
,...,x_{n},y_{1},...,y_{n})$$ \\

\textbf{Physik:} \\
\qquad$(t,q=(q_{1},...,q_{n}),\dot{q}=(\dot{q}_{1},...,\dot{q}%
_{n})\longmapsto...$ \\

\textbf{Variationsproblem:} \\
Gesucht ist
$$
\begin{array}{cccc}
\varphi:&[a,b]\subset D&\longrightarrow&G\\
&t&\longmapsto&\varphi(t)=(\varphi_{1} (t), \ldots)
\end{array} $$
sodass $$I(\varphi)=\int_{a}^{b} L(t,\varphi_{1}(t),...,\varphi_{n}(t),\dot{\varphi}_{1}(t),...,\dot{\varphi
}_{n}(t))dt$$ soll extremal sein unter allen Kurven $\psi:[a,b]\overset{C^{1}}{\longrightarrow}G$ mit $\psi(a)=\varphi(a),\,\psi(b)=\varphi(b)$.\\

\textbf{ELD}: Falls bei $\varphi$ der Wert $I(\varphi)$ extremal wird, so gen\"{u}gt
$\varphi$ den folgenden Differentialgleichungen:

$$\frac{d}{dt}\left(  \frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi
(t),\dot{\varphi}(t))\right)  =\frac{\partial}{\partial x_{i}}L(t.\varphi
(t),\dot{\varphi}(t))\qquad\forall i=1,...,n$$

\paragraph{Warnung:}
\begin{enumerate}
\item Falls $\varphi$ ELD erf\"{u}llt, braucht $\varphi$ nicht extremal zu sein!
\item Es braucht kein Extremum zu geben, selbst wenn die ELD eine L\"{o}sung haben!
\item F\"{u}r numerische Zwecke ist oft der Integralstandpunkt besser, als der DGL-Standpunkt.
\end{enumerate}

Die Energiefunktion zu L wird definiert als 
$$E(t,x,y)=\underset{=\sum
_{i=1}^{n}\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,x,y)y_{i}}{\underbrace
{\frac{\partial}{\partial y}L(t,x,y)y}}-L(t,x,y)$$

Sei $\varphi$ eine L\"{o}sung der ELD.

$$
\frac{d}{dt}\left(  E(t,\varphi(t),\dot{\varphi}(t))\right)  =\sum_{i=1}
^{n}\left(  \underset{\text{wegen ELD k\"{u}rzbar (b)}}{\underbrace{\left(
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi(t),\dot{\varphi
}(t))\right)  \dot{\varphi}_{i}(t)}}+\underset{\text{k\"{u}rzbar (a)}
}{\underbrace{\frac{\partial L}{\partial y_{i}}(t,\varphi(t),\dot{\varphi
}(t))\ddot{\varphi}_{i}(t)}}\right)-$$ \\
$$
(\frac{\partial}{\partial t}L(t,\varphi(t),\dot{\varphi}
(t))+\underset{\text{wegen ELD k\"{u}rzbar (b)}}{\underbrace{\frac{\partial
L}{\partial x_{1}}(t,\varphi(t),\dot{\varphi}(t))\dot{\varphi}_{1}
(t)+ ... +\frac{\partial L}{\partial x_{n}}(t,\varphi(t),\dot{\varphi}
(t))\dot{\varphi}_{n}(t)}}+$$ \\ 
$$\underset{\text{k\"{u}rzbar (a)}}{\underbrace
{\frac{\partial L}{\partial y_{1}}(t,\varphi(t),\dot{\varphi}(t))\ddot
{\varphi}_{1}(t)+...+\frac{\partial L}{\partial y_{n}}(t,\varphi
(t),\dot{\varphi}(t))\ddot{\varphi}_{n}(t)}})
$$

$$\frac{d}{dt}\left(  E(t,\varphi(t),\dot{\varphi}(t))\right)  =-\frac
{\partial}{\partial t}L(t,\varphi(t),\dot{\varphi}(t))$$
\paragraph{Schlussfolgerung}
Wichtige Folgerung: h\"{a}ngt L nicht explizit von t ab, so bleibt die Energie
l\"{a}ngs jeder L\"{o}sung $\varphi$ der ELD konstant. (Energiesatz)!

\paragraph{3 physikalische Beispiele}
\begin{enumerate}
\item Ein physikalisches System werde durch $n$ Ortsvariable
$q_{1},...,q_{n}$ beschrieben. $T=$"`kinetische Energie"'$=T(t,q,\dot{q})$
$U=$"`potentielle Energie"'$=U(t,q)$ $L=T-U$ Standard Lagrangefunktion.\newline
ELD:$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\frac{\partial L}{\partial
q}$\newline Wichtige Spezialf\"{a}lle: $T(t,q,\dot{q})=\frac{1}{2}\sum
a_{ij}(t,q)\dot{q}_{i}\dot{q}_{j}\qquad A(t,q)=(a_{ij}(t,q))$=symmetrische
Matrix, deren Eintr\"{a}ge von $t$ und $q$ abh\"{a}ngen.\newline Es ist dann:
$\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}(t,q)\dot{q}_{j}%
)$\newline Noch spezieller sei $A=$ konstant. Dann lautet die ELD:\newline%
$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\ddot{q}_{ij}=-\frac{\partial}{q_{i}}U(q(t))$ ($U$ sei
unabh\"{a}ngig von $t$).
\item $n$ Massenpunkte im Raum unter dem Einfluss eines zeitunabh\"{a}ngigen
Potentials U.\newline$q_{1},...,q_{n}\qquad q_{i}(t)=$Ort vom i-ten Teilchen
mit Masse $m_{i}$ zur Zeit $t$.\newline\qquad\qquad\qquad\qquad$=(q_{i1}%
(t),q_{i2}(t),q_{i3}(t))\Longrightarrow G=%
\mathbb{R}^{9}$\newline ELD: $m_{i}\ddot{q}_{i}(t)=-\frac{\partial U}{\partial q_{i}%
}(q_{1},...,q_{n})$\newline n=3,\qquad Dreik\"{o}rperproblem = Drei
Massenpunkte unter Einfluss der Gravitation. $U=U(x_{1},x_{2},x_{3}%
)\underset{\text{bis auf Gravitationskonstante}}{=}\frac{m_{1}m_{2}%
}{\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert }+\frac{m_{2}m_{3}}{\left\Vert x_{2}%
-x_{3}\right\Vert }+\frac{m_{3}m_{1}}{\left\Vert x_{3}-x_{1}\right\Vert }%
$\newline$G=\left\{  (x_{1},x_{2},x_{3})|x_{i}\in%
\mathbb{R}^{3}x_{i}\neq x_{j},\,\,\forall i,j\right\}  $ = offene Teilmenge von $%
\mathbb{R}^{9}$\newline$L:%
\mathbb{R}\times G\times%
\mathbb{R}^{9}\longrightarrow%
\mathbb{R}$

\item 3 gleiche Federn, 2 gleiche Massenpunkte, keine Reibung, kleine
Auslenkungen.\newline$T=\frac{1}{2}m\left(  \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)  $
- kinetische Energie.\newline$U=\frac{1}{2}kx^{2}+\frac{1}{2}k(x-y)^{2}%
+\frac{1}{2}ky^{2}$ - potentielle Energie.\newline$L=T-U.$\newline%
$\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}%
},\qquad\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}%
{\partial\dot{y}}$ liefern die Gleichungen:\newline$m\ddot{x}+2kx-y=0,\qquad
m\ddot{y}+2ky-x=0$
\end{enumerate} 
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 









