Bereits gezeigt: Existenz von $\hat{\mu}$ mit $\hat{\mu}=inf\{ \sum_{n\in\mathbb{N}} \mu(A_n)|Y\subset\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n,A_n\in\A\}$.\\

\begin{proof}
der Eindeutigkeit (Nimm f\"ur $\hat\mu=\mu$!)\\
Sei $ A \in \A $ mit $\mu(A) < \infty$, $ Y\in\M (\A)$ mit $Y \subset A$. 
 \[\mu(Y)=\hat{\mu}(Y)=\inf\:\sum_{n\in\N}\mu(A_n)=\inf\:\sum_{n\in\N}\nu(A_n)\geq \nu(Y),\]
 wobei $Y\subset \bigcup_{n\in\N}A_n$ mit $A_n\in\A$.
Sei $\nu$ eine andere Fortsetzung. Also gilt $\mu(Y)\geq \nu(Y) $ und genauso gilt: $\mu (A\setminus Y ) \geq\nu(A\setminus Y)$, $\mu(A)=\mu(Y) + \mu(A\setminus Y)$ und $\nu(A)=\nu(Y)+\nu(A\setminus Y)$\\
Daraus folgt $\mu(Y)=\nu(Y)$.\\ Nun ist aber $X=\bigcup A_n$ und $\mu(A_n)<\infty$, $A_n\in\A$. Oder $X=\dot{\bigcup} A_n' $ und $\mu(A_n')<\infty$, $A_n'\in\A$ mit $A_n'=A_n\setminus\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$.\\
$Y=\dot{\bigcup}Y' \cap A_n\Rightarrow \mu(Y)=\sum_n\mu(Y'\cap A_n')$ und $\nu(Y)=\sum_n\nu(Y'\cap A_n')$
\end{proof}

\paragraph{Folgerungen}
Sei $(X,\M,\mu)$ ein Maßraum, $\A$ eine Unteralgebra von $\M$ mit $\M=\M(\A)$, so dass X $\sigma$-endlich ist bez"uglich $\A$. Eine Menge $Y\in\M$ hat genau dann Maß Null ($\mu(Y)=0$), wenn $\forall \epsilon > 0$ eine Folge existiert $A_n$ in $\A$ mit $Y \subset \bigcup A_n$ und $\sum\mu(A_n)<\epsilon$.


\begin{defi} 
\begin{enumerate}
\item Ist $(X,\M,\mu)$ ein Maßraum, so heisst eine beliebige Teilmenge $Y$ von $X$ eine Nullmenge, falls ein $ Y'\in\M$ existiert mit $Y\subset Y'$ und $\mu(Y')=0$.\\
Eine Teilmenge Z von X nennt man $\mu$-messbar, wenn $Z=Z_1\cup Z_2$ mit $Z_1\in \M$ und $Z_2=$Nullmenge.\\
Man kann auf der Menge $\bar{M}$ aller $\mu$ -messbaren Mengen ein Maß definieren durch  $\mu(Z)=\mu (Z_1) $.
$(X,\bar{\M},\mu)$ heisst Lebesgue-Vervollst\"andigung.
\item Sei$(X,\M,\mu)$ ein Maßraum. Eine Aussage, in der $X$ vorkommt, gilt fast \"uberall (f.\"u.), falls sie ausserhalb einer Nullmenge gilt.
\end{enumerate}
\end{defi}
\paragraph{Beispiele}
\begin{enumerate}
\item $X=\R$, $\M(\T)$, $\mu=\lambda=$Lebesgue-Maß. U offen, abgeschlossen oder sogar kompakt $\rightarrow$ U ist messbar.\\
$(Y_n)_n\in\N$ Familie von Nullmengen $\Rightarrow\:\bigcup_{n\in\N}Y_n$ ist Nullmenge, dann:
$Y_n\subset Y_n' \in \M$ mit $\mu( Y_n')=0$. \\
\[\bigcup Y_n \subseteq \bigcup_{n\in\N} Y_n' \in \M \; \; \mu(\bigcup_{n\in\N} Y_n')\leq \sum_{n\in\N}\mu( Y_n') =0\]
Alle abz\"ahlbaren Mengen sind Nullmengen. Aber es existieren \"uberabz"ahlbare Nullmengen, z.B. die Cantor'sche Wischmenge W. \\
Konstruktion von W: W ist das, was \"ubrig bleibt. 
\[W=\{x\in [0,1] | x = \sum_{i=1}^\infty \frac{a_i}{3^i},a_i=0,a_i=2\}\]
Dies ist \"uberabz\"ahlbar viel. $ \exists $ stetig surjektive Abb. $\varphi:W\rightarrow[0,1]\times[0,1]$.
\item Nicht alle Teilmengen von $\R$ sind messbar, denn:\\
Auf $\R$ defiert man die \"Aquivalenzrelation $\sim$ durch: $x \sim y:\Leftrightarrow x-y \in \Q$. W\"ahle Repr.-System R. Sei $r \in R \: [r]=\{r+q|q\in\Q\} = [r']$ für einen $ r' \in [0,1]$. Also o.B.d.A. $R \subset [0,1]$. \\

Behauptung: R ist nicht in M\\
Angenommen, doch:
\begin{enumerate}
\item $\lambda(R)=0 \rightarrow \R=\dot{\bigcup}$\"Aquivalenzklassen $=\bigcup_{r\in\R}+\Q=\bigcup_{q\in\Q}R+q$ \\
Das Lebesgue-Maß $\lambda$ hat die Eigentschaft, translationsinvariant zu
sein, d.h. 
\[M\in\M, x\in \R \Longrightarrow x + M = \{x+m| m \in M\} \in \M \text{ und }
\lambda(M)=\lambda(x+M)\]
 Also $\lambda(R+q) - \lambda(R) = 0 \; \forall q \in \Q$. Es folgt $\lambda(\R)\leq \sum_{q\in\Q}\lambda(R+q)=0$! Das geht nicht! Widerspruch!
\item $\lambda (R)>0 $, 
  \begin{eqnarray*}
    \dot{\bigcup}_{q\in\Q\cap [0,1]} R+q &\subseteq& [0,2],\\
    \lambda(\dot{\bigcup}_{q\in\Q\cap [0,1]}R+q) &\leq& \lambda[0,2]=2,\\
    \lambda(\dot{\bigcup}_{q\in\Q\cap [0,1]}R+q) &=& \sum\lambda(R+q)\\
  \end{eqnarray*}
 Widerspruch!
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\section{Die Konstruktion des Lebesgue-Integrals}
Sei $(X,\M,\mu)$ ein Messraum, z.B. $(\R,\M(\T),\lambda)$.
\begin{defi}
\begin{enumerate}
\item Eine Treppenfunktion $\phi: X \rightarrow \R$ ist eine Stufenfunktion mit $\mu(\phi^{-1}(c))<\infty \forall c \in \R \setminus \{0\}$. Mit $\T(\mu)=$ Menge aller Treppenfunktionen.
\item Das $\int \phi = \int_X \phi d\mu$ ist definiert als 
\[\int\phi=\sum_{c\in \R \setminus \{0\}} c\mu(\phi^{-1}(c))=\sum_{c\in \phi (X) \setminus \{0\}}c\mu(\phi^{-1}(c))\]
\item Eine Halbnorm auf einem Vektorraum V ist eine Abbildung 
$\|\|: V \rightarrow \R$ mit
\begin{enumerate}
\item $\|v\| \geq 0 \quad \forall v \in V$
\item $\|\lambda v \|= |\lambda| \|v\| \quad \forall \lambda \in \R, v \in V$
\item $\|v+w\| \leq \|v\| + \|w\| \quad \forall v,w \in V$\\
Achtung! ($\|v\|=0$ bedeutet nicht unbedingt $v=0$)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{defi}
\paragraph{Bemerkungen}
Jede Stufenfunktion $\Psi$ ist eine endliche Linearkombination von charakteristischen Funktionen $\chi_\M$ zu messbaren Mengen $\M$, d..h. $\Psi = \sum_{i=1}^n c_i \chi_{M_i}$, $M_i=$messbar, $c_i \in \R$.. Bei einer Treppenfunktion wird zus\"atzlich $\lambda(M_i) < \infty$ verlangt. $\Psi = \sum c_i\chi_{M_i}$, $\int\Psi=\sum c_i \mu(M_i)$

\begin{lem}
$\T(\mu)$ ist ein Unterraum von $\R^X=\{f|f:X \rightarrow \R,Abbildung\}$, der
mit f,g auch $f\cdot g$ und $\|f\|$ enth\"alt. Das Integral ist eine lineare Abbildung von $\T(\mu)$ nach $\R$ und $\|\phi\|_1 := \int |\phi|$ ist eine Halbnorm auf $\T(\mu)$, die sogenannte $L^1$-Norm.\\
\begin{proof}
einfach
\end{proof}
\end{lem}
\paragraph{Bemerkungen}
\begin{enumerate}
\item Die Begriffe CF, vollst"andig, konvergente Folge, usw. haben auch f"ur Halbnormen Sinn. Aber: Grenzwerte sind nicht mehr eindeutig!
\item Ist ($a_n$) eine CF in V mit Halbnorm, so exisitert eine Teilfolge ($a_{nk}$) mit $\|a_{nk}-a_{nk+1}\| < \frac{1}{2^{2k}} \forall k\in\N$. Eine solche Teilfolge heißt speziell!
\begin{proof}
Zu $\epsilon=\frac{1}{2^{2\cdot 1}} \exists n_1: \| a_n-a_m\| <
\frac{1}{2^{2\cdot 1}} \forall n,m \geq n_1$.\\
Zu $\epsilon=\frac{1}{2^{2\cdot 2}} \exists n_2: \| a_n-a_m\| <
\frac{1}{2^{2\cdot 2}} \forall n,m \geq n_1$. Per Induktion schließt man auf alle k.
\end{proof}
\end{enumerate}


\paragraph{Bemerkungen \& Wiederholung}
$(X,\M,\mu) \quad \T(\mu) \Longrightarrow \varphi=\sum_{i=1}^n \lambda_i \chi_{M_i}$, $M_i \in \M, \mu(M_i) < \infty, \lambda_i \in \R, M_i \cap M_j = \emptyset$  f\"ur $i \neq j$, $\int  \varphi=\sum \lambda_i \mu(M_i)$. $\|\varphi\|_1=\int |\varphi|$\\
Beispiel: $X=\R$, $M=\M(\T)$, $\mu=\lambda$, $\Q= \dot{\bigcup}_{q\in\Q} \{q\} =$ Lebesgue-messbar\\
$\mu(\Q)=\sum_{q \in \Q} \mu(\{q\})=0$, $\phi=\chi_\Q \in \T( \mu ) $, $\int \chi_\Q=0$ \\

V Raum mit Halbnorm, ($v_n$) C.F. in V $\Longrightarrow \exists $ spezielle Teilfolge $(v_{n_k})$ mit der Eigenschaft $\| v_{n_k} - v_{n_{k+1}} \| < \frac{1}{2^{2k}}$.

\begin{lem} [Fundamentallemma]
Sei $(\varphi_n)$ eine $L^1$-Cauchyfolge von Treppenfunktionen. Dann gibt es
eine Teilfolge ($\varphi_{n_k}$) die fast "uberall punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Man findet sogar f\"ur jedes $\epsilon > 0$ eine Menge $Z=Z(\epsilon)$ mit $\mu(Z)<\epsilon$, so dass ($\varphi_{n_k}$) ausserhalb von Z gleichm\"assig gegen Z konvergiert.
\end{lem}
\paragraph{Beispiel}
Es sei $\varphi_n$ die folgende Folge in $\T(\mu): \varphi_1=\chi[0,1]$. Des weiteren sind die charakteristische Funktion der immer weiter halbierten Teilst\"ucke von [0,1]. $\varphi_2=\chi[0,\frac{1}{2}];\varphi_3=\chi[\frac{1}{2},1];\varphi_4=\chi[0,
\frac{1}{4}];\ldots \;$. Diese bilden eine $L_1$-C.F., da $\int
|\varphi_n-\varphi_m|$ sehr klein f\"ur große $n, m$. $\varphi_n$ konvergiert nirgends in $[0,1]$ punktweise.
\begin{proof}
Sei $\varphi_{n_k}$ eine spezielle Teilfolge von $\varphi_n$. O.B.d.A sei
bereites $\varphi_n$ speziell. Setze $Y_n = \{x\in X |
\varphi_n(x)-\varphi_{n+1}(x)|>\frac{1}{2^n}\}=$messbar von endlichem Maß, da
$|\varphi_n-\varphi_{n+1}| \in \T(\mu)$! Offenbar gilt:
$\frac{1}{2^n} \chi_{Y_n} \in \T(\mu) \leq |\varphi_n-\varphi_{n+1}|
\Longrightarrow $
\[\int \frac{1}{2^n} \chi_{Y_n} = \frac{1}{2^n} \mu (Y_n) \leq \int |\varphi_n - \varphi_{n+1}|=\| \varphi_n-\varphi_{n+1}\|_1 \leq \frac{1}{2^{2^n}}\Longrightarrow \mu(Y_n)\leq \frac{1}{2^n}\]
Setze $Z_k=\bigcup_{n\geq k} Y_n \Longrightarrow Z_k$ messbar mit $\mu(Z_k)\leq \sum_{n\leq k} \mu(Y_n) \leq \frac{2}{2^k}$. \\
Setze $\tilde{Z}=\bigcap_{k \in N} Z_k \Longrightarrow \tilde{Z}$ messbar
mit $\tilde{Z} \subset Z_k \Longrightarrow \mu(\tilde{Z}) \leq
\mu(Z_k)\;\forall k \Longrightarrow \mu(\tilde{Z})=0$.


Erste Behauptung: $x \notin \tilde{Z} \Longrightarrow (\varphi_n(x))$
 konvergiert gegen eine reelle Zahl, die f(x) genannt wird. $x \notin \tilde{Z}
 \Longrightarrow \exists k: x \notin Z_k = \bigcup_{n \geq k} Y_n$. Es folgt
 $| \varphi_n(x) - \varphi_{n+1}(x)| < \frac{1}{2^n} \; \forall n \geq k$.

 \begin{eqnarray*}
|\varphi_n(x)- \varphi_{n+l}(x)| &=& | \sum_{i=0}^{l-1}
 \varphi_{n+i}(x)-\varphi_{n+i+1}(x)|\\
 &\leq& \sum |\varphi_{n+i}(x)-\varphi_{n+i+1}(x)| \\
&\leq& \sum_{i=0}^{l-1}\frac{1}{2^{n+i}} \leq 2 \frac{1}{2^n} \forall n \geq k, \forall l \geq 1
\end{eqnarray*}
Also ist $(\varphi_n(x))$ Cauchy-Folge. \\
Sei nun $\epsilon>0$ vorgegeben, w\"ahle $k$ so groß, dass $\mu(Z)<\epsilon$. Nimm $Z_k$ f\"ur $Z$. Falls $x \notin Z_k$, so gilt nach vorangehendem Argument die gleichm\"aßige Konvergenz!
\end{proof}

\begin{lem} 
F\"ur zwei $L^1$-Cauchy-Folgen $(\varphi_n), (\Psi_n)$ von Treppenfunktionen,
die fast "uberall gegen die gleiche Funktion $f$ konvergieren gilt $\| \varphi_n - \Psi_n \|_1 \longrightarrow 0$, also ist insbesondere $\lim_{n\to\infty} \int \varphi_n = \lim_{n\to\infty} \int \Psi_n$.
\end{lem}
\begin{proof}
Betrachte $\T_n=\varphi_n-\Psi_n$. Das ist eine $L^1$-C.F. von
Treppenfunktionen, die f.\"u. gegen die Nullfunktion konvergiert. Zu zeigen
ist $\| \T_n \|_1 \longrightarrow 0$. O.B.d.A. sei $(\T_n)$ bereits speziell.

Sei $\epsilon > 0$ vorgegeben. W\"ahle k so groß, dass $\|\T_n-\T_k\|_1 <
\epsilon \; \forall n \geq k$. 

Sei $Z$ so gew\"ahlt, dass $\mu(Z)< \frac{\epsilon}{\|\T\|}$ 
(mit $\| \T \| = \sup_{x \in X} |\T_k(x)|$ existiert, da $\T_k \in \T({\mu})$), dass $\T_n \longrightarrow 0$ gleichm"assig auf $X\setminus Z$ konvergiert.\\
Auf $X\setminus\M$ sei $\T_k \equiv 0$.. (Mit anderen Worten $\M=$Tr\"ager von
$\T_n=$messbar mit $\mu(\M)<\infty$).
\[\|\T_n\|_1= \int_X |\T_n| = \int_Z |\T_n| + \int_{M\setminus Z} |\T_n|+
\int_{M\setminus(M \cup Z)} |\T_n|\]
 dabei ist
 \begin{eqnarray*}
   \int_Y |\T_n| &=& \int_X |\T_n| \chi_Y\\
    \int_Z |\T_n| &\leq& \int_Z |\T_n-\T_k
   | + \int_Z |\T_k| \\
&\leq& \int_x | \T_n-\T_k | +  \|\T_k\|_1 \mu(Z) =\| \T_n-\T_k \|_1 + \|\T\|_1
    \mu(Z)\\
|\T_n| &\leq& |\T_n-\T_k| + | \T_k| , \,\quad \chi_Z |\T_k| \leq |\T_k|\chi_Z\\
\int_Z |\T_n| &\leq& \| \T_n - \T_k \|_1 + \epsilon \leq 2 \epsilon \quad \forall n \geq k\\
\int_{X\setminus Z} |\T_n| &\leq& \underbrace{\|\T_n\|_{M \setminus Z}}_{sup \{\T_n(x)|x \in M \setminus Z\}} \cdot \mu(M) < \epsilon \quad \forall n \geq n_0\text{, da }\T_n \longrightarrow 0\text{ auf }X \setminus Z\text{ gleichm"assig.} \\
\int_{X \setminus (M \cup Z)} | \T_n | &\leq&  \int_{X\setminus (M \cup Z)} | \T_n-\T_k
| + \int_{X\setminus (M \cup Z)} \underbrace{|T_k|}_0 \\
&\leq& \| \T_n - \T_k \|_1 < \epsilon \quad \forall n \geq k
\end{eqnarray*}
\end{proof}
\paragraph{Fazit}
$\int_X |\T_n| \leq 4 \epsilon \quad \forall n \geq \max(k,n_0)$\\
Also: $\|\T_n\|_1\longrightarrow 0$!\\
$|\int \varphi_n-\int \Psi_n | = | \int (\varphi_n-\Psi_n)| \leq \int |
\varphi_n - \Psi_n| = \|\varphi_n - \Psi_n \|_1 = \| \T_n \|_1 \longrightarrow
0$ 

$|\int \varphi_n-\int \varphi_m | = | \varphi_n-\varphi_m| \leq \int | \varphi_n - \varphi_m|= \|\varphi_n-\varphi_m\|_1 \Longrightarrow \varphi_n$ ist C.F. $\Longrightarrow$ lim existiert! 
\begin{defi}[Lebesgue-Integrierbarkeit]
Eine Funktion  $f:X \longrightarrow \R$ heißt Lebesgue-integrierbar, falls es eine $L^1$-C.F. $(\varphi_n)$ von Treppenfunktionen gibt, die f.\"u. gegen f konvergiert. Das Integral $\int f (= \int_X f d\mu)$ ist definiert als \[\int_X f = \lim_{n \to \infty} \int_X \varphi_n\]
\end{defi}
\paragraph{Bemerkung}
Nach Lemma 3 ist das Integral $\int_X f$ unabh"angig von der Wahl der $L^1$ - C.F. ($\varphi_n$)!
\begin{defi}
Ist $Y \subset X$ messbar, so wird das Integral $\int_{Y} f$ definiert als $\int_X f \chi_{Y}$.
\end{defi}
\paragraph{Bemerkung}
Ist ($\varphi_n)\; L^1$-C.F., die fast "uberall gegen f konvergiert, so ist $(\chi_{Y} \varphi_n)$ eine $L^1$-C.F., die gegen $f\chi_{Y}$ fast \"uberall konvergiert!
\begin{satz}
\begin{enumerate}
\item Die integrierbaren Funktionen bilden den Unterraum $\LL^1(\mu)$ von $\R^X$. Das Integral ist eine lineare Abbildung $\LL^1(\mu)\longrightarrow \R$.
\item Mit $f$ ist auch $|f|$ integrierbar und es gilt $\|f\|_1=\int_X |f| \geq |\int_X f |$. Die Abb. $\|\;\|_1: \LL^1(\mu) \longrightarrow \R$ ist Halbnorm.
\item Ab"andern einer Funktion auf einer Nullmenge "andert weder die Integrierbarkeit noch den Wert des Integrals.
\item Sind $f, g$ integrierbar mit $f \geq g$ fast "uberall, so ist $\int f \geq \int g$.
\item Ist $Y$ messbar, so ist $\chi_Y$ genau dann integrierbar, wenn das Maß endlich ist. Es ist dann $\int \chi_Y = \mu(Y)$. \\
Ist $0 \leq \varphi \leq f$ mit $\varphi =$ Stufenfunktion, $f \in \LL^1 \Longrightarrow \varphi \in \T(\mu)$.
\item Integrierbare Funktionen sind messbar nach eventuellem Ab\"andern auf einer Nullmenge.
\item $f$ ist genau dann fast "uberall Null, wenn $\|f\|_1=0$
\item Ist $f$ f.\"u. punktweiser Grenzwert der $L^1$-C.F. ($\varphi_n$) von Treppenfunktionen, so gilt $\|\varphi_n-f\|_1 \longrightarrow 0$.
\end{enumerate} 
\end{satz}
\begin{proof}
Leicht: alles ausser 5,7,8

Z.B. zu 1. \\
$f$ sei punktweiser Limes fast überall von $(\varphi_n)$\\
$g$ sei punktweiser Limes fast überall von $(\Psi_n)$\\
($\varphi_n+\psi_n)\;L^1$-C.F. von Treppenfunktionen, die f.\"u. gegen f+g
konvergiert.
\[\int f + \int g = \lim \int \varphi_n + \lim \int \Psi_n = \lim \int \varphi_n + \int \Psi_n = \lim \int (\varphi_n+\Psi_n)=\int(f+g)\]
\end{proof}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% TeX-master: "hoema3"
%%% End: 













